幾何動點問題的解題策略探討

廖曉青

[摘 ?要] 幾何動點問題是中考常見的重難點問題，在解析問題時需要采用合適的策略，構建合理的模型和思路，常用的策略有“動”“靜”之間的轉化與結合，文章結合實例探討化動為靜、動中取靜、以靜制動、動靜結合四種策略.

[關鍵詞] 動點;幾何;恒定條件;模型;函數關系;特殊位置

幾何動點問題是初中數學較為典型的問題，圖形中由于點的位置變化會引起眾多幾何元素的變化，例如線變、面變和形變，因此學生在解析時容易陷入思維停滯，難以獲得解題思路. 一般而言，解析思路有兩條：一是提煉動態圖形中的不變內容，二是利用特殊模型來研究動點狀態. 下面對其轉化策略進行探究.

化動為靜，把握不變條件

動點問題的難點在于對幾何動態的轉化，因此某些動點問題可以采用“化動為靜”的策略，從中提煉恒定條件，將問題轉化為一般的靜態問題，從而快速獲得問題突破的思路. 例如，與速度相關的雙動點問題，可以分析動點的速度，提取動點之間的位移關系.

例1：如圖1所示，△ABC為等邊三角形，在頂點的A和C處各放置一只蝸牛，兩只蝸牛同時以相同的速度，分別向著點B和點A爬行. 若經過時間t后，兩只蝸牛分別爬行到了點D和點E處，回答下列問題：

（1）在爬行的過程中，線段CD和BE是否一直相等.

（2）若將原題中“分別向著點B和點A爬行”改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，而EB與CD的交點為Q，其他條件不變，如圖2所示，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，試求證∠CQE =60°.

分析 由于兩只蝸牛分別從A和C出發，爬行的速度相同，則經過時間t后所走的路程也相同，即AD=CE，可利用該條件解析問題.

解 （1）根據題意可知AC=BC，∠A=∠ACB=60°，且AD=CE，在△DAC和△ECB中，AD=CE，∠A=∠BCE，AC=BC，則△DAC≌△ECB，所以CD=BE，即CD和BE始終相等.

（2）根據題干條件可得

BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE，可證△BCD？艿△ABE，所以∠BCD=∠ABE. 所以∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=120°，進一步可得∠CQE =60°.

評析 上述在分析動點問題時準確把握題目中的“同時以相同的速度爬行”的條件，獲得了相應的等線段恒定條件，從而將問題視為是一般靜態問題，利用全等三角形性質、角度換算等方式完成了線段證明和角度求值.

動中取靜，確定適用模型原理

在研究幾何動點問題時也可以采用“動中取靜”的策略，根據題干信息確定動點軌跡，然后根據圖形特點確定適用的模型原理，利用模型原理來研究滿足條件時動點的位置，進而實現求解. 例如研究線段最值問題常用的“將軍飲馬模型”“胡不歸模型”就是基于“兩點之間，線段最短”原理，通過軸對稱的方式確定了動點的位置，實現了動點問題的簡化.

例2：如圖3所示，四邊形ABCD是正方形，點E是位于邊AD上的一個動點，現在過點A作BE的垂線，垂足為點H，然后連接DH，已知正方形的邊長為4，試求線段DH的最小值.

分析 DH的長度與點E的位置有關，由題干信息可知∠AHB始終為90°，則可以利用“直徑所對的圓周角為直角”定理來構建關于點H的運動軌跡. 如圖4所示，設圓心為點P，顯然當三點P，H，D共線時，根據“兩點之間，線段最短”原理可知此時PD與圓的交點就是DH取最小值時點H的位置，后續只需要借助幾何性質求長度即可.

解：以AB為直徑畫半圓，圓心設為點P，連接PD，PD為圓的交點就為滿足條件時點H的位置，已知AD=4，AP=2，利用勾股定理可求得PD=2 ，而PH為圓的半徑，則PH=2，所以DH=PD-PH=2 -2，即DH的最小值為2 -2.

評析 上述是常見的與動點相關的線段最值問題，解題的關鍵是確定點的運動軌跡，然后根據軌跡來建立模型或使用原理. 上述所使用的三點共線模型及“兩點之間，線段最短”原理是該類問題最為常用的解析策略.

以靜制動，建立函數關系

采用“以靜制動”的策略來解析幾何動點問題的思路是：設出描述動點的運動參數，建立與問題相關的函數模型，利用函數的性質來分析求解. 該策略的優勢在于忽略了因點動引起的次生問題，而采用發展的觀點來建立運動元素之間的相互聯系，可有效降低思維難度.

例3：拋物線的解析式為y=-x2+bx+c，與x軸相交于點A（1，0）和B（-3，0）兩點.

（1）試求該拋物線的解析式;

（2）點P是拋物線在第二象限上的一個動點，連接PB，PC，BC，試分析△PBC面積的最大值，以及此時點P的坐標.

分析 （1）已知拋物線與x軸的兩個交點，可以由兩點坐標獲得拋物線解析式. （2）分析拋物線上與動點相關的面積問題，可以設出動點的坐標，通過三角形面積割補的方式構建面積模型，從而建立與動點坐標相關的面積函數，利用函數性質來確定點P的坐標，求最大面積.

解 （1）根據A（1，0）和B（-3，0）兩點，可得拋物線解析式為y=-（x-1）（x+3），化簡可得y=-x2-2x+3.

（2）設點P（x，-x2-2x+3），過點P作x軸的垂線，垂足為點E，PE交BC于點F，如圖5所示，通過面積割補可得S△PBC=S四邊形BPCO-S△BOC，代入面積公式可得S△PBC= - x+ 2+ ，分析可知當x=- 時，S△PBC= ，此時點P的坐標為- ， .

評析 上述是以拋物線為背景的動點問題，動點位于拋物線上，因此以動點為頂點建立的三角形面積與動點的坐標有關. 因此在分析時可以采用“以靜制動”的策略，建立關于動點坐標參數的面積函數模型. 該策略是函數性質分析幾何動點問題的典型代表，另外構建函數解析式還可以利用勾股定理、三角形相似性質等，解析時需充分提取圖形特征.

動靜結合，分段特性討論

在某些幾何動點問題中，由于動點的移動圖形的結構存在規律性的變化，此時就可以采用“動靜結合”的解析策略，基于圖形結構來對動點的移動軌跡進行分段，然后通過分類討論、特性分析的方式來確定答案. 該策略解析的關鍵點有兩個：一是對圖形特性的提取，二是對動點軌跡的分段. 解析時需要綜合考慮，全面分析.

例4 如圖6所示，△ABC的內角∠ACB=90°，AC=6，BC=8，已知動點P從點A出發，以速度1沿著路徑A→C→B運動，動點Q從點B出發，以速度3沿著路徑B→C→A運動. 已知兩動點同時出發，到對應的終點時才會停止. 在某一時刻，分別過P和Q作l的垂線，垂足分別為點E和F，則當點P運動多長時間時，可使△PEC和△QFC為全等三角形？

分析 本題目屬于雙動點問題，需要根據路徑對運動的時間進行分類討論. 對于動點P：當0≤t≤6時，在線段AC上;而當6≤t≤14時，在線段BC上. 對于動點Q：當0≤t≤ 時，在線段BC上;當 ≤t≤ 時，在線段BC上;而當t≥ 時，點Q與點A相重合，則停止運動. 根據圖形特性和動點位置關系可以分為四種情形：①點P在線段AC上，點Q在線段BC上;②點P和Q均位于AC上;③點P在線段AC上，而點Q與點A相重合，停止運動;④點P在線段BC上，點Q與點A相重合，停止運動. 則后續只需要根據運動區段，結合全等要求來確定討論時間的合理性即可.

解 設時間t后，△PEC？艿△QFC，由全等性質可得CP=CQ.

①當點P在線段AC上，點Q在線段BC上時，0≤t≤ ，如圖7，CP=6-t，CQ=8-3t，由CP=CQ解得t=1.

②當點P和Q均位于AC上時， ≤t≤ ，如圖8，只有兩點重合才可能全等，則CP=6-t=3t-8，解得t=3.5.

③當點P在線段AC上，而點Q與點A相重合，停止運動，則 ≤t≤6，分析可知不滿足全等條件.

④當點P在線段BC上，點Q與點A相重合，停止運動，則6≤t≤14，如圖9，則CQ=6，CP=t-6，由CP=CQ解得t=12.

綜上可知，當點P運動時間為1、3.5或者12時，△PEC和△QFC可為全等三角形.

評析 上述在分析與雙動點相關的三角形全等問題時，根據動點所在位置情況確立了分類標準，確定了時間范圍，進而根據三角形全等條件建立了關于時間的方程，完成求解. 上述使用的是“動靜結合”的解析策略，其中“動”表示動點所在線段上的位置變化，而“靜”表示時間范圍確定、全等條件固定. 因此在采用“動靜結合”策略解析時應明確其中的“動”“靜”條件，靈活建模.