數形結合在小學數學課堂教學中的運用

蔣麗美

（湄洲灣北岸經濟開發區東埔中心小學，福建 莆田 351153）

數學教育是一種文化，數學教育與人的素養發展相結合，是數學學習的真正目的。數學具有高度的抽象性、系統性。如何與核心素養相聯系，筆者認為，數形結合思想可以架起橋梁，化抽象為具體，化復雜為簡約，真正助學生一臂之力，讓學生借助數形結合自主探究、合作交流、深刻理解，逐漸提升數學素養。

一、運用數形結合進行計算教學，發展數學核心素養

運算能力是數學的“十大核心詞”之一，是學生必備的數學素養。如何讓學生擁有強大的計算能力？筆者認為要讓學生掌握抽象的算法，應該先讓學生經歷算法的探究過程，在探究過程中明白算理。而要讓抽象的算法易于理解，直觀圖是第一幫手。借助直觀圖數形結合，可以讓數的抽象和圖的直觀對應起來，讓學生真正理解算理，掌握計算方法，為形成一定的運算能力打好基礎。例如：三年級學生學習《兩位數乘兩位數（不進位）》中，豎式計算從“兩位數乘一位數”跨越到“兩位數乘兩位數”是學生認知上的一次大飛躍，探索算法是本課時的重點，理解算理自然而然是難點。“每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本?”在探究14×12=（）環節，可以引導學生把每本書看成一個點，給學生提供14×12的點子圖，讓學生借助點子圖把怎樣算的想法表示出來。時間在一分一分中流逝，學生的思維火花在點子圖中綻放。學生依托點子圖，想法百花齊放。

圖1

小小的點子圖，充分展現了不同學生的思維軌跡，加上算式搭配，完美組合，學生不用解釋，道理已在數形結合中。“仔細觀察，這些方法有什么共同的特點？”學生通過交流發現，這些方法都體現了“先分后合”的解題思路，是把新知轉化成已學過的舊知解決問題，是學生所積累的探究經驗的流露，體現了解決問題方法的多樣化。接著，教師可以讓學生嘗試用豎式計算。“你知道先算什么，再算什么嗎？”教師把說理的機會拋給學生。“仔細觀察，哪幅圖能恰當地體現豎式的計算過程？”學生帶著問題在觀察、交流中發現豎式與圖1-（4）有著密切的聯系。他們驚奇地發現豎式其實就是先計算2套書有多少本，再計算10套書有多少本，最后合起來是12套書的總本數。直觀的點子圖有效地緩沖了學生在理解豎式算理中的難度，使豎式計算有圖可依，有理可循，真正做到化抽象為形象。

圖2

圖3

“豎式計算中用到的4句口訣（二四得八、一二得二、一四得四、一一得一）計算的是哪一部分（圖2）為什么第二層的積要錯位寫？能在點子圖上找到豎式計算的過程并說明道理嗎（圖3）”

這樣，借助點子圖尋覓豎式計算的足跡，真正理解錯位寫的道理，突破教學難點，讓學生真正明白豎式計算的道理，知其然而知其所以然。3次數形結合充分說明了數學知識是抽象的，但可以借助圖形來說明道理，“以形助數更直觀，數形結合明道理”。這樣的課堂，學生不僅收獲了知識，而且培養了幾何直觀意識，積累了以形助數的探究經驗，發展了推理能力，數學核心素養的培養正在悄悄地進行。

二、運用數形結合進行概念教學，發展數學核心素養

數學概念是對現實世界的數量關系和空間形式的概括反映，它是用數學語言和符號揭示事物本質屬性的思維形式，是對數學知識點的高度濃縮，它以文字的形式呈現，具有很強的抽象性。而小學生的思維以具體形象思維為主，對抽象的數學概念往往感到茫然，無法理解。因此，教師要善于運用數形結合，借助“形”來呈現概念中所描述的知識點，化解概念中純文字的抽象，讓學生在豐富的感性材料中建立清晰的表象，掌握概念的本質屬性，從而建構清晰的數學概念。

例如，三年級學生在學習《認識幾分之一》中，學生以前接觸的事物都可以用整數表示，分數的認識是學生認識中的一次飛躍。當一個月餅要平均分給2個人的時候，該用什么數表示？學生的認知里遇到了障礙。很多學生會說出“一半”，至于“一半”該用什么數表示？他們就無從知道了。當教師介紹“把一個月餅平均分成2份，每份是這個月餅的二分之一，寫作1/2”時，學生對1/2并不理解。這時就必須借助圖形的幫忙了。教師可以設計兩個活動幫助學生建立表象。

活動一：每組學生各準備一個圓形、一個長方形、一個正方形，讓學生表示出圖形的1/2（見圖4）。當學生展示時，教師引導思考：圖形不同，為什么它們都可以用1/2表示？學生借助圖形發現不管什么圖形，只要把它平均分成2份，其中的一份都可以用1/2表示。活動二：讓每個學生用一張正方形紙表示1/4，由于學生的折法不同，涂色部分的形狀也就不同。（見圖5）

圖4

教師再次引發思考：陰影部分的形狀不同，為什么它們都可以表示成1/4？通過兩個活動中圖形的介入，學生對分數1/2、1/4有了感性的認識，他們清楚地認識到：只要把一個圖形平均分，其中的一份都可以用分數表示。這樣，有了圖形的支撐，“以形補數”，有效地填補了學生學習分數時形象思維的空白，促進了學生對分數概念本質屬性的理解，以形象促抽象，發展了觀察、分析、實踐能力，促進了幾分之一模型的建構，有效地發展了數學核心素養。

圖5

三、運用數形結合進行規律探尋，發展數學核心素養

數學是一門嚴謹、思維含量高的學科，探索規律在數學學習中占有很大的比例。由于小學生的思維以具體形象思維為主，對抽象的規律，往往無從入手，這時，如果能數形結合，定能一路高歌，順利攻破。如：學生在探索連續奇數和的計算方法中，教師給學生出示“1+3+5+7+9+11+13+15+17+…+99=（ ）”，如果單純憑借數據探索，學生探究起來有一定的難度。機智的學生想到“化繁為簡”先探索“1+3+5+7+9=（ ）”，這是學生探究經驗發揮的作用。教師給每組學生提供了必要的學具，“怎樣擺出這些圖形，可以很快計算算式的得數？”學生帶著問題，借助圖形先獨立思考，并嘗試擺一擺，方格圖在學生的手中玩起了魔術。展示學生智慧的時間到了。如下圖：

圖6

圖7

很顯然，擺成圖7的學生引起了大家的關注。

“你這樣擺的目的是什么？”在交流中發現原來學

生把它擺成正方形，1+3+5+7+9=（ ）轉化成正方形的個數： 5×5=25。”至于“5”是哪來的？學生借助直觀圖不難看出，表示的是這組數的個數。顯然，學生們初步學會用數學的眼光觀察圖形，借助圖形用數學的思維分析問題，把連續奇數的和轉化為正方形的總個數，這樣的探究活動是否有價值？教師繼續追問。1+3+5+7+9+11=（ ），照這樣擺下去，可以擺成邊長是幾的正方形？1+3+5+7+9+11+13+15+17+…+99=（ ）呢？

就這樣借助圖形數形結合，學生經歷操作、想象、交流、分析，初步發現“連續的奇數和，有幾個就是幾的平方”的結論。這時，教師拋出“3+5+7+9+11+13”，有5個數，就是5的平方等于25，對嗎？”機智的學生再次結合圖形說理，如果少了1，這些數就不能拼成正方形了，從而更加嚴謹地補充規律：“從1開始的連續奇數和，等于個數的平方”。這樣，學生在學習中做到了“見數思形、以形助數”，真正認識到“數形結合百般好”。此過程拓展了學生的思維，發展了探究能力，質疑、歸納能力，同時模型思想也在落地生根，數學核心素養在悄然生長。

實踐證明，數形結合在學生的數學學習中發揮著重要的作用，數在左，形在右，數形結合如影隨形。數形結合搭建了學生從具體形象思維向抽象邏輯思維發展的橋梁，積累了活動經驗，提升了學生的推理能力、探究經驗，有效促進了數學核心素養的發展。