爆轟加載下金屬錫層裂破碎數值模擬*

賀年豐，任國武，陳永濤，郭昭亮

（中國工程物理研究院流體物理研究所，四川 綿陽 621999）

在爆轟等強加載中，金屬樣品在強沖擊波壓縮后又經歷持續稀疏波拉伸作用，可能發生熔化狀態下的層裂破碎，形成不斷膨脹的準連續空間分布碎片云團[1-3]。目前對材料在固體狀態下傳統層裂問題的研究已經比較成熟[4]。但若金屬樣品在加-卸載過程中進入熔化狀態，由于材料強度急劇下降，在稀疏波拉伸作用下的破碎霧化現象與傳統層裂現象明顯不同[3]，且目前該方面的研究和認識相對不足。從基礎科學研究角度，層裂破碎現象是沖擊加-卸載波與材料性能耦合的復雜動力學問題；在武器研究領域，層裂破碎的形成將改變金屬飛層的動力學響應及行為，進而影響武器內爆性能。由于強沖擊加-卸載下的層裂破碎問題在沖擊動力學和武器物理研究中的重要理論研究價值和強烈需求背景，該問題引起了研究人員的密切關注。

早在1914年，Hopkinson[5]就研究了強動載下鋼板的層裂破壞現象。對于錫、鉛等一類低強度、低熔點金屬，強沖擊加載下的層裂破碎和霧化噴射現象更明顯。1983年Andriot等[1]發現了爆轟加載錫熔化后不同于固體層裂的破碎現象。Holtkamp等[3]利用多幅質子照相技術給出了爆轟加載下不同厚度金屬錫對應的從熔化破碎到固體層裂破碎清晰對比圖像。Signor等[6]和Resseguier等[7]利用激光加載產生的三角波對錫的熔化破碎開展了研究，并通過回收技術、X光斷層攝影技術等手段給出了破碎顆粒的尺寸分布規律，此外也驗證了Grady層裂模型的適用性。陳永濤等[8-9]、Chen等[10]也利用中能X光照相和DPS（Doppler pin system）測速給出了錫樣品的質量、密度空間分布和自由面速度剖面。張林等[11]則通過改進Asay窗技術來診斷主體層裂破碎中不同特征區信息。雖然目前實驗診斷技術的發展大大促進了對低熔點金屬層裂破碎的認識，但在診斷早中期樣品內部應力波系相互作用以及與材料失效耦合過程信息上面臨較大的難度。微觀機制研究方面，Soulard等[12]利用分子動力學模擬研究了加-卸載中熔化狀態下金屬的層裂破碎，發現熔化狀態下材料層裂強度將急劇下降，并指出了表面層裂片的存在。Xiang等[13-14]模擬了鉛的層裂破碎，指出早期損傷失效是由空穴化主導的。但由于時-空尺度的巨大差異，以及分子動力學模型與真實材料在微介觀結構上的差異，微觀模擬分析的置信度以及與宏觀物理現象間的關聯性仍有待進一步研究。由于爆轟加載下低熔點金屬的層裂破碎涉及相變、層裂碎裂等應力波與材料物性耦合復雜問題，宏觀數值模擬研究難點較多，目前公開文獻資料較少。比較詳細的有Signor等[6]采用多相物態方程和拉伸層裂失效模型對錫的沖擊熔化問題開展了一維模擬以預測碎片尺寸分布；曹結東等[15]基于提出的熔化度損傷模型開展了二維軸對稱爆轟驅動錫熔化破碎模擬，得到了和實驗結果可對照的面密度分布圖像?？梢?，目前的宏觀模擬集中于一、二維模擬，且偏重于碎片尺寸及密度空間分布等特征分析；而三維狀態層裂破碎過程中，復雜波系與材料耦合作用過程及機制仍缺乏相關研究分析。

本文中，采用光滑粒子流體動力學(smoothed particle hydrodynamics, SPH)方法[16-17]，并結合Steinberg-Guinan高壓本構[18]以及Grady層裂模型[19]針對爆轟加載低熔點錫樣品實驗開展相應的三維宏觀數值模擬，計算結果中自由面速度和中后期的碎片質量分布演化均與實驗結果基本吻合。進一步，通過對不同厚度樣品中內部壓力、速度的時空演化以及破碎物質各特征區對比分析，剖析了爆轟加載層裂破碎問題中加載三角波及自由面反射稀疏波、側面稀疏波相互作用下層裂破碎演化機制。

1 計算方法和模型

1.1 SPH方法

SPH方法是目前應用較廣泛的一種無網格粒子類方法，其采用一組拉格朗日粒子來表示連續體，粒子自身攜帶所有物理量。由于采用核函數插值來構建空間任一點上物理量的近似值，SPH方法不需要有限元的網格信息，避免了拉格朗日方法中網格畸變導致的數值求解困難，因此SPH方法能方便地處理斷裂、層裂、破碎等材料破壞問題[17]。

1.2 材料本構和狀態方程

針對所研究問題的強動載屬性，采用適用于高應變率和高壓情況下的Steinberg-Guinan（SG）本構模型以及Mie-Grüneisen狀態方程。其中SG本構模型中剪切模量G和屈服強度Y如下：

式中：η為壓縮比，εp為等效塑性應變，T為材料溫度(K)，p為壓強，G0和Y0分別為初始狀態下的剪切模量和屈服強度；屈服強度還滿足為最大屈服強度；上述式子中其他變量皆為材料參數。另外，假設熔化狀態下的材料強度可忽略。

Mie-Grüneisen狀態方程：

能描述絕大部分金屬固體在沖擊載荷下的熱力學行為，其中μ=ρ/ρ0-1，ρ和ρ0分別為材料密度和初始密度，c0為初始波速，S1為材料參數，γ為Mie-Grüneisen系數，e為質量內能。

采用JWL狀態方程來描述炸藥爆轟產物壓力pe、內能ee、 相對體積ηe之間的關系：

式中：A、B、ω、R1、R2為炸藥參數。

1.3 Grady層裂模型

為了避免對損傷演化過程的復雜描述，Grady[19]從能量平衡的角度對材料損傷破碎問題進行理論分析，并推導了層裂強度、層裂時間、碎片平均尺寸的解析表達式。假設材料動態破碎過程中消耗的能量W由彈性能U和局部動能E提供，且有約束條件s≤2c0t，其中s為碎片尺寸，能量平衡可表示為：

對于延性材料，塑性斷裂耗能可近似為W=Yεc， εc為臨界孔洞分數，則有：

式中為應變率。將式(6)代入約束條件解得層裂強度：

對于液體材料，則耗能項由新增表面能和黏性耗能構成，能量平衡可表示為：

式中：τ為表面能，η為黏性系數。

由于局部動能項和黏性耗散項相對較小，通常可忽略，推導得到液體材料層裂強度：

需要指出的是，Grady模型從能量平衡出發，由能量準則判斷該狀態是否發生層裂失效，而未顯式描述早期微損傷萌生及生長過程。由于早期微損傷演化時間相對本文中所關注的層裂破碎過程是較小量，且微損傷影響范圍為其周邊小區域，其對整體波系演化的影響較小。因此，針對本文中波系與材料宏觀相互作用過程的模擬研究，Grady模型是可適用的。

2 爆轟加載平面錫樣品數值模擬

2.1 模型和參數

本研究對應的實驗裝置和簡化后的計算模型如圖1所示，根據對稱性，實際計算采用四分之一模型，炸藥底面中心一點起爆。高能炸藥(high explosive,HE)半徑為12.5 mm，厚度為30 mm。錫（Sn）樣品半徑為12.5 mm，厚度和實驗一致，分別為4、6、8 mm。鋁（Al）支座內徑為12.5 mm，厚度為3 mm。詳細參數材料見表1～3。

根據陳永濤等[8-10]和Holtkamp等[3]的實驗結果，爆轟加載下錫樣品已發生了卸載熔化。實際上，熔化相變和層裂失效都發生在反射稀疏波卸載過程中很短時間內，且兩者相互耦合。為簡化模擬計算復雜度，可假設卸載過程中樣品立即進入卸載熔化，再發生熔化狀態下的層裂失效。本爆轟實驗中應變率約為105s-1量級，而金屬錫 τ=0.54 J/m2，可由式（9）得到熔化狀態錫的層裂強度為65.2 MPa。鋁支座在爆轟加載中將保持固相，可依照一般延性材料取εc=0.15[19]，利用式（7）計算得到其層裂強度為2.48 GPa。以上層裂強度和文獻[19]中實驗數據基本一致。

圖1 實驗裝置示意圖以及計算模型圖Fig.1 Schematics of experimental device and simulation

表1 Sn和Al的SG本構參數Table 1 The material parameters in SG constitutive relation for Sn and Al

表2 Sn和Al的Mie-Grüneisen狀態方程參數Table 2 The material parameters in Mie-Grüneisen equation of state for Sn and Al

表3 高能炸藥JWL狀態方程參數Table 3 The parameters in JWL equation of state for high explosive

2.2 數值模擬結果及分析

對不同厚度的錫樣品開展數值模擬。在柱形高能炸藥底面中心一點起爆爆轟加載中，由于爆轟波在傳播過程中受到邊側稀疏的影響，加載沖擊波壓力呈類倒錐形分布。以6 mm厚（h=6 mm）的錫樣品為例，如圖2所示，波陣面下方和兩側分別為入射稀疏和邊側稀疏區。沖擊波到達自由面之前，沿厚度方向的壓力剖面演化如圖3所示?？梢娂虞d沖擊波為典型三角波形，且在向樣品內部推進中峰值逐漸減小。

圖2 沖擊波到達自由表面時刻壓力分布Fig.2 Pressure distribution in the Sn specimen when the shock wave arriving at the free surface

圖3 樣品中心軸線位置沿厚度方向的壓力剖面演化Fig.3 Evolution of pressure distribution along the central axis of the Sn specimen

由于樣品徑向尺寸大于厚度，在加載的早期階段，可認為樣品中心軸附近區域未受到邊側稀疏波的影響。以6 mm厚的錫樣品為例，中間點的壓力和速度的演化如圖4所示，其中包含入射沖擊加載段（a）、入射稀疏段（b）、反射稀疏段（c）。圖4中pmax、vmax為該質點受到的沖擊加載壓力和速度峰值，其大小表征了入射沖擊波的強度；Δp、Δv為自由面反射稀疏作用下壓力和速度下降值，其表征了所受反射稀疏波的強度。樣品中心軸上不同（初始）厚度位置的壓力和速度演化見圖5，可見入射沖擊波在向內部推進中逐漸減弱，同時反射稀疏波從自由界面向內部傳播中由于多層裂發生迅速減弱。因此，隨著質點靠近自由表面，其入射稀疏段縮短，而所受反射稀疏波的卸載強度增大；反之則相反。

圖4 錫樣品中間點的壓力和速度的演化Fig.4 Evolutions of pressure and velocity at the centre of the Sn specimen

圖5 錫樣品中心軸上不同厚度處的壓力和速度的演化Fig.5 Evolution of pressure and velocity at different sites along the central axis of the Sn specimen

不同厚度錫樣品的模擬結果中碎裂物質分布以及與實驗結果真實比例對比見圖6，樣品自由表面速度比較見表4?？傮w上，模擬結果和實驗結果基本吻合，這也驗證了本文所采用的層裂模型和熔化狀態下相關參數的合理性。在爆轟加載下，4 mm厚的錫樣品殘留主體部分出現明顯凸起；6 mm厚的樣品中間輕微凸起；8 mm厚的樣品則為下凹。限于X光照相的分辨能力，自由表面附近的較低密度碎片云無法被捕捉。此外，實驗圖像中碎片呈現隨機分布特征，而模擬結果為分層破碎特征，主要原因在于真實材料和加載具有隨機性和不均勻性。受限于求解規模，模擬中錫樣品的空間離散尺度為0.1 mm，而實際破碎顆粒能達到微米量級，因此模擬結果中的每個分散層裂片代表的是周邊一個破碎物質帶。進一步觀察碎片云分布可見其中包含3個不同區域。以6 mm厚的錫樣品為例，見圖6(f)，其中A為反射稀疏波（主導）區；B為入射稀疏波（主導）區；C為邊側稀疏波（主導）區。對于4 mm厚的錫樣品，A區直接連通至底部而無B區。隨著厚度的增大，A區逐漸上移，并與B區交匯于樣品內部，同時C區增大。

圖6 爆轟加載下不同厚度錫樣品碎片云分布的數值模擬結果與實驗結果[9]的比較Fig.6 Comparisons of fragment distributions between simulation results and experimental results[9] for the tin specimens with different thicknesses under explosive loading

表4 不同方法得到的不同厚度樣品自由面速度Table 4 Free-surface velocities by different methods for the tin specimens with different thicknesses

不同厚度的錫樣品中心軸上離底面0.5 mm處的速度時間歷程見圖7。由圖7可見，當樣品厚度較薄時，雖然在沖擊波之后短時間內入射稀疏波將使得質點速度下降，但很快自由表面反射稀疏波到達樣品底面并導致其速度上升。同時由于邊側稀疏波的影響，兩側速度上升較弱。因此，4 mm厚的錫樣品主體底部呈現上凸形狀。隨著厚度增加，反射稀疏波作用迅速減弱。同時反射稀疏波到達樣品底部時間延后，導致底部經歷的入射稀疏作用時間更長，速度下降幅度更大。因此，隨著厚度增加，樣品底部變為下凹。反射卸載波到達樣品底面后同一時刻不同厚度樣品的內部速度分布見圖8，在入射、反射和邊側稀疏波共同作用下，4 mm厚的樣品在中心線兩側形成低速區；6 mm厚的樣品在底面中間形成一片較平整的低速區；而8 mm厚的樣品的低速區更大，且靠近中心軸速度更低?？梢婋S著樣品厚度增加，邊側和入射稀疏波的影響增強，同時反射稀疏波伴隨層裂推進而迅速變弱，底部的低速區向內部擴大。這也可解釋圖6(f)中A、B、C區域在不同厚度錫樣品中物理量以及樣品底部形貌的演化。在自由面附件區域，沖擊波在自由面反射稀疏波并與入射稀疏波相互作用而引發層裂，并向內部推進。由于類倒錐形的入射波壓力分布（圖2），碎片云中反射稀疏波主導區也呈類倒錐形。

圖7 不同厚度錫樣品中心軸上離底面0.5 mm處速度演化Fig.7 The velocity evolution at x0=0.5 mm in the Sn specimens with different thicknesses

圖8 起爆后6.4 μs時刻不同厚度Sn樣品內部速度分布Fig.8 Velocity distributions in the Sn specimens with different thicknesses at 6.4 μs after detonation

3 結 論

對爆轟加載下低熔點金屬錫的層裂破碎問題開展了數值模擬。計算結果中自由面速度和中后期的碎片質量分布演化均與實驗結果基本吻合。模擬結果也反映了自由面附近低密度物質的存在。錫樣品的層裂破碎是爆炸沖擊波后反射稀疏波、邊側稀疏波、入射稀疏波與材料性能共同作用的結果。碎片云分布中也明顯可見各波影響主導區域。對于薄樣品，反射稀疏波短時間內到達樣品底部，而兩側由于邊側稀疏波的干擾，速度上升較弱，因此主體底部呈現上凸形貌。隨著樣品厚度的增大，在向內傳播過程中，伴隨層裂發生，反射稀疏波強度迅速減弱，且樣品底部經歷的入射稀疏作用過程更長，因此樣品底部將逐漸變為下凹。另外，隨樣品厚度的增大，反射稀疏波的影響主導區將上移，而邊側和入射稀疏波影響區擴大。樣品的層裂破碎是自由面反射稀疏波與入射稀疏波共同作用的結果，且由自由面附近向內推進。由于入射波的類倒錐形壓力分布，破碎區也將出現了類倒錐形碎片分布。需要指出的是，本文中認為樣品在稀疏波到達時即刻進入了卸載熔化狀態，而實際上沖擊加-卸載中金屬的相變為動態演化過程，該問題也將是本文后續研究的關注點之一。