斐波那契數列的應用研究

(黃山學院、數學與統計學院 安徽 黃山 245041)

一、關于“數學文化”課程

“數學文化”課程，是近年來為加強大學生文化素質教育而在各高校相繼開設的一門素質教育類課程,一般為公共選修課，供學過高等數學、線性代數等數學基礎課程的各專業學生選修，主要以一些較淺顯的數學知識為載體，讓更多的學生了解數學、喜歡數學，一般以一些有趣的數學問題為背景，激發學習興趣，講授數學的方法和思想，讓學生們能夠以數學的視野來看待生活，提高學生專業素質和文化素質。

“數學文化”課程涉及到的內容相當寬泛，一般不設固定的教材，常以專題形式呈現。比如可設數學發展簡史、著名數學問題、數學方法論、數學與其它文化的關系、中西文化差異比較、數學美等等專題。由于該課程是針對所有專業開設的一門校公共選修課，選修該課程的既有理科學生也有文科學生都有，并且可能涵蓋二至四年級，考慮到他們的數學基礎以及興趣點的不同，因此在選題和講授時注意理論性與趣味性相結合、知識性與思想性相結合、數學與人文相結合、深度廣度與學生的數學基礎相結合。

數學文化課程開辟了一條有效的途徑，可以讓大學生們從更多層面來了解和認識數學。讓他們知道學好數學不是為了會做題、能應付考試，而是要準確地了解和把握數學的思想和精神，面對今后工作和生活中可能出現的諸多紛繁復雜的事情，能夠更“數學地”思考和處理問題，更具理性和創造性。

二、關于斐波那契數列

斐波那契數列是由意大利著名數學家斐波那契在敘述“生兔子問題”時從一個簡單的遞推關系產生，引出了一個充滿奇趣的數列：每一項都是正整數，但它的通項公式卻是用無理數來表達的；證明通項公式的方法非常之多，分別涉及到數學歸納法、等比數列、矩陣理論、微分方程、冪級數、母函數等等知識點和不同的數學分支；有著很多的數論方面的性質，一些新的性質卻還在不斷的發現之中；它與植物生長等自然現象緊密相關，同時亦與幾何圖形、黃金分割、楊輝三角、矩陣運算、連分數等數學知識有著非常微妙的聯系；除了在數論中被用來證明一些重要的定理和性質外，在生活中與優選法、計算機科學、股票理論中也得到了廣泛應用。

三、斐波那契數列的定義

(一)拼圖問題

圖1

同樣的四塊拼圖拼出來的圖形,面積怎么可能不相等呢？問題出在哪里？這個長方形中多出來了一個單位的面積,這個面積又在哪兒呢？這樣的拼圖問題是由3,5,8這一組數所引起的個別現象呢還是說有可能會是一個比較普遍的情形？要很好地回答這一系列問題,我們得從斐波那契數列來談起。

斐波那契是中世紀意大利的著名數學家,他曾率先將阿拉伯數字和十進位制計數法引入歐洲,并對歐洲數學的發展產生了深遠的影響。1202年,他在其著作《算盤書》中提出了著名的兔子問題。

(二)兔子問題

假設一對出生兔子一個月以后成熟,而一對成熟兔子每個月都能生下一對小兔子，那么,由一對出生兔子開始,12個月時一共會有多少對兔子呢？結論：到十二月時有兔子144對。

我們將每個月的兔子對數排成一個數列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

不妨設F(x)=1+x+2x2+3x3+…+Fnxn-1+…，

從第三項開始,將遞推關系代入,

由函數的冪級數展開式的唯一性,比較冪級數的系數即得:

四、斐波那契數列的性質

黃金分割數在自然和社會中有著極其廣泛的應用,它是工藝美術、建筑、攝影等諸多藝術門類中影響人們審美的一個重要因素之一。20世紀70年代,華羅庚先生根據黃金比提出了優選法,并在全國范圍內推廣,產生了廣泛的社會影響。

斐波那契數列的有趣的和有用的性質還有很多,并且依舊處于不斷的發展壯大之中。斐波那契數列自從19世紀末成為熱門的研究課題以來,一直就不乏追隨者。迄今為止依然有很多的學者在執著地研究它的性質和應用。