我發(fā)現(xiàn)一類新的方程叫包容方程

摘 要 通過討論子方程和母方程的解集，分析它們的相互關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一種另類方程叫包容方程，母方程子方程互為包容方程。指出包容方程將引出的悖理：包容方程是同解方程嗎？是參數(shù)方程嗎？用同樣的字母例如x，y可以同時表示母子方程中的未知數(shù)嗎？可能要引出哲學上的討論。對量子糾纏找出數(shù)學上的依據(jù)。

關(guān)鍵詞 母數(shù)方程 母方程 子方程 母子方程的解 耦合變換 包容方程

中圖分類號：G420文獻標識碼：A

0引言

數(shù)論中的一個中心問題是研究素數(shù)和復合數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律。我的母數(shù)論探索一種新的方法去解決這些問題的。用母數(shù)論的方法，我發(fā)現(xiàn)了一些新的數(shù)學問題…下面，首先給大家介紹一類新的方程叫包容方程。

我們面前有兩個方程：x+y+2xy=7…①和x+y+2xy=112…②顯然，按現(xiàn)有的認識，這是兩個未知量表達式完全一樣的二元二次不定式方程。也就是古老的丟番圖方程。

在初等數(shù)論中，對于二元二次不定式方程，已有一定的解法。而本篇短文注重的只是上述①②類型的不定式方程的解集。本文只在正整數(shù)范圍內(nèi)討論它們的解集，以及兩個方程解集之間、方程的表達式之間存在的內(nèi)在關(guān)系。

我們已經(jīng)知道，對于一個二元二次不定式方程式，一般來說解集的結(jié)論是：無解，一組解，有限組解…而對于兩個方程來說，以往我們主要是比較它們的解集，抑或說是不是同解方程？是不是參數(shù)方程？等兩個方程之間的關(guān)系問題。

我們首先比較方程①和②。明顯地看到，它們表達未知數(shù)的解析式形式上有兩個一樣：第一，未知量選用了同樣的字母x，y來表達;第二，表達未知量的關(guān)系也是完全相同的x+y+2xy;兩個方程只有一項不同，僅是常數(shù)項不同。共同表達的是同樣一個二次對稱函數(shù)。

而且，對于上述每一個方程如果有解，一定是對稱的兩組解（x，y）和（y，x）。為了行文簡潔，把因?qū)ΨQ性而產(chǎn)生的兩組解，統(tǒng)一書寫為一組解。例如方程①有x=1，y=2的解;必有y=1，x=2的對稱解。我們只說方程①有x=1，y=2的正整數(shù)解;或表述作方程有解（1，2）。

依據(jù)以往的知識，我們對方程①②很輕易地會得出，它們是各自獨立、毫無關(guān)系的兩個方程;它們各自有解，解也不會相同的結(jié)論。如同x+y=5和x+y=10一樣，各自獨立，解不相同。如果把①②兩個方程聯(lián)系起來，當方程組來解。就會犯7=112的初級謬誤，更說明它們是各自獨立、毫無關(guān)系的兩個方程。

我們很快會看到這個結(jié)論是錯誤的！

1母方程子方程的定義

定義1 我們把型如x+y+2xy=c（c∈N）的二元二次不定式方程叫做母數(shù)方程，簡稱母方程。并用針對性強的小寫字母a+b+2ab=c來表達母方程（a，b是未知數(shù)，c是常數(shù);c∈N）。

定義2 在母數(shù)方程a+b+2ab=c中，如果常數(shù)項等于c與其繼數(shù)乘積2倍即2c（c+1）。這樣的母數(shù)方程，叫原母方程的子方程。為區(qū)別于原母方程，我們選用對應(yīng)強的大寫字母A+B+2AB=2c（c+1），來表達子方程（A，B是未知數(shù)，c是常數(shù);c∈N）。那么，該方程就叫做母方程的子方程。

這樣，我們就給看似“各自獨立、毫無關(guān)系”的方程①和②建立起‘糾纏不清的‘親屬關(guān)系。把方程①和②改寫成母子方程的形式，其精髓是結(jié)構(gòu)重組：{母方程a+b+2ab=7 （a，b是未知數(shù)）…①′;子方程A+B+2AB=112（A，B是未知數(shù)）…②′。我們就能把重組起來的兩個方程，聯(lián)系起來解。它們似方程組卻不是方程組，是形式上經(jīng)過耦合變換，它們升華為解有糾纏關(guān)系的母子方程。這種外在形式一樣，解又和而不同的方程就叫包容方程。

2討論母方程和子方程的解

前面說過，這是兩個二元二次不定式方程或說丟番圖方程，我們只在正整數(shù)范圍內(nèi)討論它們的解集。我們知道目前初等數(shù)論中，解母方程a+b+2ab=c這種二次不定式方程還比較麻煩。而子方程A+B+2AB=2c（c+1）的規(guī)定性比母方程的要豐富的多。所以，解子方程要容易的多①。由于篇幅和討論主題的限制，這里重點討論它們解之間的關(guān)系。

先看母方程a+b+2ab=7…①′顯然，有a=1，b=2即（1，2）的正整數(shù)解;

再看子方程A+B+2AB=112…②′∵112=2？？，∴由定義2知，②′是子方程。它比方程①′規(guī)定性多。它的解分兩種情況：第一種情況，當A=B時，解之，有A=B=7一組解;第二種情況，A≠B時，分別有A=4，B=12;A=1，B=37;A=2，B=22三組解。

討論：（1）在第一種情況中：即A=B時，方程②′是有A=B=7一組解。在已知中已給出了母方程a+b+2ab=7…①′。也就是說，在A=B時，方程②′的解是一個常數(shù)7，同時也是一個代數(shù)解析式a+b+2ab，這時A或B=a+b+2ab是函數(shù)。它們且相等，組成的方程是已知的母方程！再換句話說，子方程②′在A=B時，會絲毫不差地向母方程返回或說‘返祖！這就是耦合變換。

（2）在第二種情況中：A≠B時，子方程②′有A=1，B=37;A=2，B=22二組解。由于解的對稱性，當然B的解也可以等于1，也可以等于2。前面已解出母方程的解是a=1，b=2。可以看到母方程和子方程的解既是相通的，又是互相糾纏的。也這就是說，子方程②′的上述不同的兩組解，有選擇性地交叉反射到母方程①′的解中。即;A=1反射到a=1;B=2反射到b=2。這既是真理。∵A=1，a=1;B=2，b=2是解方程解出來的事實！也是悖理？∵大A不是小a;大B不是小b，這也是事實！它們的解和而不同地糾纏包容在母子方程之中。之所以這樣說，是因為母方程①′的兩個解a=1，b=2是通過解子方程②′得到的兩組解中分別取出的。這是母數(shù)糾纏性的具體反映。

如果接受這樣的方程，接受這樣的解，我們就可以避開解方程①′，直接解子方程②′一樣會得到母方程①′和它的正整數(shù)解（1，2）。

如上，我們說是解方程組①′②′。實際上只解了一個子方程②′就得出了兩個方程和兩個方程的解。那么，這究竟是解一個方程呢，還是解兩個方程呢？它們是同解方程呢，還是參數(shù)方程呢？什么也不是！它們是耦合變換形成的包容方程：母方程包容在子方程里，子方程又屬于母方程。

（3）同樣是第二種情況，A≠B時，方程②′還有一組特殊解：是A=4，B=12。之所以說是特殊解，是因為4=2？？，12=2？？，作為（A，B）方程②′的一組兩個解A，B，每一個都可以表達為2n（n+1）的形式。它是函數(shù)f（a，b）=a+b+2ab，在a=b時特殊值。所以，令A=2a（a+1），B=2b（b+1），自然推得2a（a+1）=4，2b（b+1）=12。解之，a=1，b=2。這種情況下，只能說子方程②′所具有的特解是能包容母方程特殊情況下（a=b）的函數(shù)即A=2a（a+1）和B=2b（b+1）。是子方程②′自身具有耦合性的反映，也是母數(shù)解糾纏性包容性的證據(jù)之一。

由定義2知，子方程的常數(shù)項有2c（c+1）的屬性。現(xiàn)在，子方程的未知數(shù)A，B也”繼承”抑說包容了這種屬性。這是繼承還是遺傳？它擬似參數(shù)代換，卻不是參數(shù)代換！是耦合變換推出了包容方程。由此，解子方程就會得到母方程（a，b）即（1，2）的正整數(shù)解。意義在于只要解子方程不論母方程在何方，即使在火星上，也會得到它的解。因為，包容方程的解是互相糾纏的。

并不是所有的母數(shù)方程都有解，它解集是符合二元二次不定方程解的一般規(guī)律的。就是無解，一組解，有限組解三種情況。一組解，有限組解的例子，我們在上面已經(jīng)看到了。至于無解的例子更多。例如母方程a+b+2ab=6（或等于5，8，9，11…）都是無正整數(shù)解的。但它的子方程是有唯一解的！就是A=B時，子方程有唯一解6（或5，8，9，11…）。這時，子方程向母方程返回！等同于我們什么也沒做。當A≠B時，∵（A，B）也沒有正整數(shù)解，∴母方程a+b+2ab=6（或5，8，9，11…），亦無正整數(shù)解。

3母方程和子方程的包容性

從上面的分析，我們已經(jīng)看到了母方程和子方程的包容性，主要表現(xiàn)在如下兩個方面：

（1）子方程不僅包容了母方程的形式，而且和而不同地包容了母方程的全部解;

（2）母方程同樣也包容了子方程的形式，母方程通過母數(shù)糾纏在子方程中找到了自己的解。

定義3：如果兩個方程未知數(shù)的表達形式完全一樣，常數(shù)項之間耦合{即常數(shù)項之間有未知數(shù)表達的函數(shù)關(guān)系}（例如上述的母子方程）。那么，它們的形式耦合，解一定會和而不同地糾纏在在一起（至少有一組解是相同的）。這樣的方程叫包容方程。

前面已經(jīng)介紹過的母子方程就是包容方程。這兩個方程的關(guān)系似同解方程卻不是同解方程，更不是方程組;似參數(shù)方程也不是參數(shù)方程，是一種新的方程叫包容方程。

自然數(shù)無窮，母子方程無窮！自然包容方程無窮！

寫到這里，又出現(xiàn)一個問題。包容方程顯著的特征之一，就是能夠返回再現(xiàn)原方程！高等數(shù)學中，有一種函數(shù)y=ex，它的導函數(shù)能還原自身。這是通過一種求導數(shù)運算即（ex）′=ex復制返回還原了自身！而我們是通過耦合變換，推出包容方程，解包容方程的過程中還原了自身！請問，在數(shù)學史上出現(xiàn)過這種你中有我，我中有你，相互包容，形式一樣，解和而不同，相互糾纏的兩個方程嗎？

4結(jié)束語

最后重申一下，包容方程的出現(xiàn)，一定會引出悖理：

（1）從上面的例子看出：母方程①′的全部解一定是子方程②′的解，子方程②′的解，不全部是母方程①′的解，卻包含容納了母方程①′的全部解。這樣的包容方程是同解方程嗎？

（2）在解子方程②′中，可以得到A=2a（a+1）和B=2b（b+1）的解，這兩個解是函數(shù);同時也可得到A=4和B=12的常數(shù)解。由等于第三個量的兩量相等的公理，推得2a（a+1）=4和2b（b+1）=12;同理A=B，A=7，B=7，得到a+b+2ab=7。我們知道常微方程的解可以是一簇函數(shù)，我們這里的解同時等于函數(shù)和常數(shù)。請問，方程的解可以是方程嗎？再問，這樣的包容方程是參數(shù)方程嗎？

（3）理論上說，用什么樣的字母表示未知數(shù)是自由的、任意的，字母不過起著符號的作用。在科學實踐中，科學家們約定了一些特定的字母表示特殊的數(shù)。如e表示超越數(shù)2.718…，%i表示圓周率等等，已成為普世公識。可以說，用什么樣的字母表示方程中的未知數(shù)也應(yīng)是自由的任意的。據(jù)說是愛因斯坦建議用x，y表示未知數(shù)，已在解方程中得到普遍應(yīng)用。我們在解母子方程中遇到了一點麻煩。如果我們違反常規(guī)，沒有把x+y+2xy=7…①和x+y+2xy=112…②看作是各自有解的兩個獨立方程，而看作是有聯(lián)系的母子方程去求解。那么，同時等于x+y+2xy的兩個量相等！產(chǎn)生了7=112的謬誤！如果一定要把x+y+2xy=112…②當作子方程解下去，會引出更大的荒唐和混亂…例如，當x=y時，子方程有解x=y=7。而母方程x+y+2xy=7…引出一系列的矛盾和謬誤…都是由于同時使用了同樣的字母x，y表示了兩個有包容關(guān)系的方程，掩蓋了母子方程形式上常數(shù)項及解的耦合性及解的糾纏性。很自然會有這樣的問題。請問，用同樣的字母能夠表達清楚包容方程中母子方程的未知數(shù)嗎？

注釋

① 用母數(shù)論的方法，我已經(jīng)找到了解子方程②′的特殊方法，通過解子方程會同時解出母方程和它的全部解。給古老的丟番圖方程一種新的解法，本文篇幅有限，另文〈母子方程的解法〉相贈。

參考文獻

[1] 張偉華，崔英華.介紹一種求勾股數(shù)的方法——用一個量表達勾股數(shù)[J].中國·包頭-職大學報，2005（02）：59-60.