落實建模方法培養多元思維

陳惠珍

在小學數學教材中，模型思想日益凸顯著它的重要性。模型建立的過程既是教師引導學生進行觀察、比較、分析、抽象和概括的活動過程，又是學生在自主探究中構建數學模型、落實建構模型方法的雙向過程。鑒于此，筆者認為要重視數學模型方法的教學，讓學生掌握不同的數學模型。

一、在觀察對比中建模

觀察是培養數學思維的“基石”。有了觀察才能對問題進行分析比較，才會進行知識的遷移概括，很多知識的教學往往是通過舊知模型引出新知的“生長點”。例如，在引導學生用假設法解答完工程問題后，筆者設計如下對比練習。

（1）一批貨物，甲車運3次能運完;乙車運6次能運完。如果兩輛車一起運，多少次能運完這批貨物？

（2）修一條公路，甲隊單獨修需要3天，乙隊單獨修需要6天，如果兩隊合修，多少天能修完這條公路？

學生通過獨立解答后得出：這兩道題都是用1÷

+=2這個算式解答。隨后，筆者引導學生觀察對比兩道題，學生概括出相同地方：這兩道題的工作總量都是未知，都是一起合作，要求的都是合作時間。筆者順勢提出：如果一項工程，甲單獨做a小時完成，乙單獨做b小時完成，兩人合作幾小時完成的問題，可以這樣列式：1÷

+，從而自然地構建解決工程問題的模型。學生在運貨、修路等情境對比練習中，疏通了前后知識間的聯系與區別，梳理出工程問題的相同之處，凸顯了工程問題的本質特征，并抽象出符號化的模型。

二、在數形結合中建模

在進行“數與代數”的教學時，中低年級常常借助小棒、點子圖、計數器或動畫課件來輔助教學，而小學高年級是靠畫圖來突破教學中的重難點。例如，人教版六上“數與形”的教學，筆者先簡單教學零散正方形的得數1+3、1+3+5、1+3+5+7，當要計算1+3+5+7+9+…+199的得數時，學生不知所措了。

為便于解決問題，筆者引導學生采用化繁為簡的方法，利用直觀圖，從1+3開始，通過倒“L”形層層疊加小正方形數，啟發學生從不同角度思考計算得數，即1+3=（2）2，1+3+5=（3）2……在繼續往外拼正方形的過程中，進一步引導學生通過數與形的對照，清楚地看到從1開始連續奇數相加的和等于奇數個數的平方，也就是“正方形數”。這樣在“化數為形”與“以形解數”中來回剖析，讓學生感受數與形結合的奇妙之處，感悟出數與形之間的規律模型。

在計算教學中，畫圖法不僅可以幫助學生理解算理，掌握算法，而且能使運算模型的呈現更具體、清晰。例如，分數乘分數的計算方法的教學：李伯伯家有一塊公頃的地，種土豆的面積占這塊地的，種土豆是多少公頃？當學生列出算式×后，筆者引導學生用長方形表示1公頃，讓他們通過折一折、畫一畫、寫一寫展示各自的思考過程。

方法一：

方法二：

通過畫圖可以看出，不管是先橫向平分，再豎向平分;還是先豎向平分，再橫向平分，求公頃的，其實就是求1公頃的，也就是把1公頃平均分成（2×5）份，取其中的1份，即×=×1=。通過數形結合，把算理和算法密切聯系起來，學生既掌握了算法，又理解了算理，自然地由分數乘整數的運算模型遷移到分數乘分數的運算模型。

三、在實踐操作中建模

在數學教學中有些概念尤為抽象，通過語言的描述學生不易建構出相應的模型。這就要求教師在教學中善于去架設解決問題的階梯，幫助學生解疑去惑。例如，教學“三角形三邊關系”，根據三角形是由三條線段圍成的圖形，筆者提出問題：是不是提供三條線段就一定能圍成一個三角形呢？學生有的肯定，有的否定，有的心存疑惑。此時，筆者讓學生從準備的3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的四根小棒中，任意選擇三根小棒圍一圍，看是不是都能圍成三角形。學生動手操作、觀察、記錄和交流比較后，發現在所有任選三根小棒中，共有4種可能：（1）3厘米、4厘米、5厘米;（2）3厘米、4厘米、8厘米;（3）3厘米、5厘米、8厘米;（4）4厘米、5厘米、8厘米。其中（1）、（4）兩種能圍成三角形，而（2）、（3）兩種則不能。筆者趁勢進行三角形三邊關系的教學。學生通過剛才的實踐操作，加上教師的引導教學，從而建構“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一概念模型。

四、在合作交流中建模

合作交流是數學建模的重要環節。學生通過觀察思考、動手操作、模擬演示等自主探究后，逐漸形成自己的見解和想法，初步建構出基本的數學模型;為進一步鞏固模型或使模型得到擴展延伸，需要教師進一步引導學生合作探究、歸納整理，建立清晰、系統的數學模型。例如，在教學“圓錐的體積”后，學生通過實踐操作已建立等底等高的圓柱體積等于圓錐體積的3倍這一公式模型。為進一步加強圓錐和圓柱體積之間的聯系，筆者提出：如果圓柱和圓錐的體積相等、底面積相等，它們的高之間存在什么關系？

學生小組合作，演算、交流后發現：等體積、等底面積的圓錐、圓柱，圓錐的高是圓柱的3倍。與此同時，一個學生迫不及待地站起來說：“我發現等體積、等高的圓錐、圓柱，圓錐的底面積是圓柱的3倍。”于是，筆者接著引導學生歸納總結出：圓柱、圓錐之間體積、底面積和高三個量中每兩個量相等，第三個量必成3倍關系的規律模型。

又如，“加法運算定律”的教學，學生在學習這節課前，已經具備較豐富的數學學習體驗，已由看圖寫算式知道2+4=6也可寫成4+2=6，再到交換兩個加數的位置再算一遍的驗算過程。這些學習經驗的累積為學生運算定律的學習打下了堅實的基礎。于是，筆者在執教這節課時，組織學生小組合作，自主探究加法交換律的模型。學生在小組合作中充分發揮各個成員的主動性，有的舉例子寫算式，有的驗證算式的得數，還有的嘗試用自己喜歡的方式來表示加法交換律的模型。通過把學習的主動權交給學生，讓學生通過學習共同體的方式，讓不同程度的學生在數學小組合作中得到不同程度的發展。

（作者單位：福建省福州市長樂區漳港中心小學）