運(yùn)用解幾模型 構(gòu)造解題橋梁

史建軍

江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) (212300)

構(gòu)造法是異于常規(guī)解題的一種方法，近年來已有很多文章從不同的方面介紹了構(gòu)造法的應(yīng)用.本文試圖就解析幾何知識(shí)在構(gòu)造法解題中的作用作一些初步探索.

一、兩點(diǎn)間距離公式在構(gòu)造法中的作用

二、點(diǎn)到直線距離公式在構(gòu)造法中的作用

例2 已知x,y∈R,a,b,p,q∈R，且滿足ax+by=0，p2+q2=a2+b2=1,ap+bq≠0.求證：函數(shù)z=x2+y2-2px-2qy+1的最小值為(ap+bq)2.

三、直線方程在構(gòu)造中的作用

例3 設(shè)方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上有實(shí)根,求a2+b2的范圍.

解析：本題若直接由條件出發(fā)，利用實(shí)根分布條件求出a,b滿足的條件，即在aOb坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域，再視a2+b2為區(qū)域內(nèi)點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，以此數(shù)形結(jié)合方法，亦可獲解，但過程很繁瑣.考慮到變量a,b是我們要面對(duì)的主變量，故我們反客為主，視方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)為aOb坐標(biāo)平面上的一條直線l:xa+b+x2-2=0,P(a,b)為直線上的點(diǎn)，則a2+b2即為|PO|2，設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，由幾何條件知

四、斜率公式在構(gòu)造中的作用

綜上所述，M(a)·m(a)=1.

圖1 圖2

五、圓的方程與性質(zhì)在構(gòu)造中的作用

解析：以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖2)，則A(-1,0),B(1,0).

六、直線與圓的位置關(guān)系在構(gòu)造中的作用

證明：由條件可得

七、圓錐曲線方程在構(gòu)造中的作用

圖3

八、參數(shù)方程在構(gòu)造中的作用

例8 已知x2+2xy+4y2=6,求x2+4y2的取值范圍.

九、極坐標(biāo)在構(gòu)造中的作用

例9 已知實(shí)數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5,求函數(shù)z=x2+y2的最大值與最小值.

十、直線與二次曲線位置關(guān)系在構(gòu)造中的作用

例10 若實(shí)數(shù)x,y滿足4x2+y2=xy=1,求2x+y的取值范圍.

以上我們舉例歸納了解析幾何中的部分知識(shí)在構(gòu)造中的作用.從這些問題的求解過程我們不難看出，通過構(gòu)造，給這些具有某種特性的代數(shù)命題賦予了幾何意義，從而可用幾何法來解，這在一定程度上起到了化繁為簡，化難為易的作用.課堂教學(xué)中若能有意識(shí)地向?qū)W生介紹一些構(gòu)造法的思想和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生將表面上孤立、支離的知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，將所學(xué)知識(shí)連成線、織成網(wǎng)、鋪成面、圍成體，養(yǎng)成對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度、多方位、多層次的思考的習(xí)慣，建立全方位、立體化的認(rèn)識(shí)，必將在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生深刻的思維品質(zhì)，提高探索、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力.