基于大地經緯度的二維TDOA無源定位

馬方立，徐揚，徐鵬

（1. 西南交通大學信息科學與技術學院，四川 成都 611756；2. 四川省無線電監測站，四川 成都 610052；

3. 系統可信性自動驗證國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 610031；4. 西南交通大學數學學院，四川 成都 611756）

1 引言

到達時間差（TDOA, time difference of arrival）無源定位是利用布設在不同地點的多個接收點同時接收某一信號源發出的信號，并通過測量接收點兩兩之間的信號到達時間差來確定信號源位置的方法。TDOA無源定位研究始于20世紀60年代，采用三維直角坐標[1]；Stilp[2]于20世紀90年代將此技術用于公眾移動通信網終端定位。

由于時差測量技術的進步，TDOA無源定位技術在移動通信網定位、跟蹤[3]和無線電監測定位這2個領域的應用日益廣泛。TDOA定位方法本質上通過測量無線電波到達時間差來表示到達距離差，從而實現定位，故距離計算的準確度與定位的準確度密切相關。現有文獻[1-12]多以平面直角坐標表示，往往假設某一監測站點為坐標原點，例如，文獻[10]“令Ri,1為待測目標到第i個定位基站和第一個定位基站（本文定義為中心基站）之間的距離差”；文獻[13]提出“需要將大地經緯度坐標轉換為平面直角坐標，計算出X、Y后，再把X、Y轉換為經緯度坐標。由于地球不是一個標準的球體，平面直角坐標系和地圖坐標系轉換后會有誤差，誤差有時會達到幾千米”，并指出“使用百度、谷歌、高德中某一家的地圖，就使用某一家的轉換算法”。

文獻[14]研究了TDOA定位中經緯度與平面坐標轉換方案，分析了地球在橢球模型下的幾種投影算法，但未見直接利用大地經緯度進行TDOA定位的研究文獻。

在衛星導航日益普及的今天，大地坐標是易于獲取并廣泛使用的坐標，地球上任意一點的位置可以用大地經度、大地緯度和大地高表示。為了提高定位精度、減少誤差，本文提出了基于大地坐標的2種二維TDOA無源定位數學模型，即球面精確計算模型和球面近似計算模型，并與傳統的平面直角坐標TDOA無源定位模型進行比較。

2 二維TDOA定位的現有模型

現有的二維 TDOA無源定位模型多基于平面直角坐標系，如圖1所示。

Mi(xi,yi)和Mj(xj,yj)是配置于基線MiMj兩端的2個監測站點，它們與信號源S(x,y)的距離分別為di和dj，單位均為km。這個距離可以表示為di=cti和dj=ctj，則有

圖1 平面直角坐標系的TDOA定位

其中，c=3×108m/s是電波在空中的傳播速度；ti和tj分別是電波由輻射源傳播到監測站Mi和Mj的時間，單位為s；τij為信號到達2個監測站的時間差，單位為 s。式(1)由電波傳播速度計算式推導而來，是TDOA的基本公式，它表明無線電波的到達距離差等價于到達時間差。

對于上述距離單位表示的二維平面直角坐標，TDOA無源定位方程為

如果有N個監測站點能夠接收到某一信號，且能夠測得電波到達這些站點之間的時間差，那么最多可以得到由個方程組成的方程組，即

如果以第一個站點為參考點，僅僅測量其他站點與第一個站點的信號到達時間差，則最多可以得到(N-1)個方程組成的方程組，即

為簡化起見，以下其他模型均只列出以第一個站點為參考點的情況。

從式(2)～式(4)可以看出，現有二維TDOA無源定位模型是以距離為單位表示的二維平面直角坐標，不直接使用大地經緯度坐標。直接采用大地經緯度坐標將帶來方便性，因為大地經緯度容易獲取且全球統一，而二維直角坐標一定是球面的某種投影，與投影方法相關。接下來，將探討如何直接利用大地經緯度坐標進行TDOA無源定位。

3 大地經緯度表示的二維TDOA定位模型

大地經緯度是用大地經度、大地緯度表示地面點位置的球面坐標。一種簡化的地球模型是地球球體模型，該模型表面是一個球面，平均球半徑為6 371.1 km[15]，在經線和赤道上1°代表的地球大圓長度為111.2 km，將地面點P的位置用經度和緯度表示。大地經度是通過該點的大地子午面與通過格林尼治天文臺的起始大地子午面之間的夾角，規定以起始子午面起算，向東從0°～180°稱為東經（E），向西從 0°～180°稱為西經（W）。大地緯度是通過該點的法線與赤道面的夾角，規定由赤道面起算，由赤道面向北從 0°～90°稱為北緯（N），向南從 0°～90°稱為南緯（S）[16]。

本文采用地球球體模型，通過大地坐標計算地球表面任意兩點之間的距離，可用球面精確計算法、球面近似計算法[17]和地圖投影法[16]求解，并建立對應的球面精確計算模型、球面近似計算模型和球面正軸圓柱投影模型。

經緯度定位的TDOA定位如圖2所示。令Mi(λi,φi)和Mj(λj,φj)為以經緯度表示的 2 個監測站點坐標，S(λ,φ)為信號源坐標，λ為大地經度，φ為大地緯度。

圖2 經緯度坐標的TDOA定位

3.1 球面精確計算二維TDOA定位

球面上任意兩點之間的最短距離是以球心為圓心的大圓上的短弧[16]。根據球面余弦公式，可得信號源S(λ,φ)與監測站點Mi(λi,φi)的距離di為

式(5)是地球上任意兩點間最短距離的精確計算公式，含有超越函數。其中111.2是在經線上和赤道上1°代表的地球大圓長度，單位為km；λ和φ分別表示大地經度和大地緯度。

由式(1)和式(5)可知，無線電波從地球上任一地點X(λ,φ)，分別到達監測站點Mi(λi,φi)和Mj(λj,φj)的時間差τij為

式(6)是無線電波從任一地點X(λ,φ)分別到達監測站點Mi(λi,φi)和Mj(λj,φj)的時間差的精確計算式。

如果以第一個站點為參考點，則最多可以得到由(N-1)個方程組成的方程組，即

式(7)含有三角函數和反三角函數，屬于超越方程組，與經典的二維直角坐標TDOA定位方程組(4)差別很大，難以采用已有的TDOA定位求解方法解算。

3.2 球面近似計算二維TDOA定位

大地坐標距離近似計算二維 TDOA定位模型是基于球面距離近似計算方法的TDOA定位模型。球面距離近似計算方法如下。

通常在較小的尺度上，將大地（地球表面的局部區域）視為平面，以勾股定理計算任意兩點之間的距離，再以這兩點的經度差大圓弧長和緯度差大圓弧長為直角邊，兩點之間的距離為斜邊，其經度和緯度單位角度所代表的距離是不同的。在任何緯度，這種方法的誤差都不大[17]，計算方法為

式(8)是地球上任意兩點間最短距離的近似計算公式。經線上1°代表111.2 km，而緯線上1°代表的距離卻隨緯度的不同而變化，為

令r表示經度差大圓弧長隨緯度變化的尺縮因子，表示經度差大圓弧長隨緯度變化的平均尺縮因子，則有

可近似地設φ0為所在區域的緯度值取整，則有

設緯線上1°代表的距離為Δd，表1列出了緯線上每隔5°的Δd值和r值。從表1可知，不同緯度下經度差1°時距離有明顯差別。

表1 緯度上每隔5°的Δd值和r值

由式(1)、式(8)和式(10)可知，如果以第一個站點為參考點，則有方程組(11)，其中N≥3。

從形式上看，式(11)與式(4)很相似，主要差別在于信號源與監測站點之間的經度差需要乘以尺縮因子r，因此，完全可以采用已有的TDOA定位求解方法解算。

3.3 球面正軸圓柱投影二維TDOA定位

球面正軸圓柱投影有等距離投影、等角度投影、等面積投影這3種[16]，其中球面等角度正圓柱投影也叫Web Mercater投影[11]。按無線電定位領域的慣例，將投影平面的橫軸作為x軸、縱軸作為y軸，則3種球面正軸圓柱投影的橫坐標的投影計算式均為

其中，111.2表示經線上1°代表的距離，單位為km；λ為經度。

而縱坐標的投影計算式不同，其中，球面等距離正圓柱投影公式為

其中，?為緯度。

球面等角度正圓柱投影計算式為

球面等面積正圓柱投影計算式為

將式(12)和式(13)代入式(2)，可得球面等距離正圓柱投影TDOA定位方程組為

式(16)與式(4)在形式上完全相同，可通過球面等距離正圓柱投影式(12)和式(13)相互推導。可見，球面等距離正圓柱投影 TDOA模型與經典的二維直角坐標 TDOA模型等價，完全可以采用已有的TDOA定位求解方法解算。

將式(12)和式(14)代入式(2)，可得球面等角度正圓柱投影TDOA定位方程組為

式(17)含有對數函數和正切函數，屬于超越方程組，與經典的二維直角坐標TDOA定位方程組(4)差別很大，難以采用已有的TDOA定位求解方法解算。

將式(12)和式(15)代入式(2)，可得球面等面積正圓柱投影TDOA定位方程組為

式(18)含有正弦函數，屬于超越方程組，與經典的二維直角坐標TDOA定位方程組(4)差別很大，難以采用已有的TDOA定位求解方法解算。

3.4 最優化建模及求解方法

對于定位方程的求解，有繪圖法、解析法和遞歸法，其中，繪圖法需要人工讀數；解析法如兩步加權最小二乘法（Chan方法）等，僅適用于平面直角坐標，可用于按平面直角坐標計算的球面近似計算模型；遞歸法如Taylor級數迭代法（NLS）等[3]，存在收斂性問題，因此，常規的方法不適用于含有超越函數的球面精確計算模型、球面等角度正圓柱投影模型和球面等面積正圓柱投影模型。本文采用基于無約束非線性規劃的最優化TDOA方法[6,11]。

TDOA最優化目標函數的通式為

其中，f(λ,φ)為以信號源經度λ和緯度φ為自變量的最優化目標函數，dp(λ,φ)和d1(λ,φ)分別為第p個和第一個監測站點到信號源的距離。

由式(6)和式(19)，可得基于球面精確距離計算的二維TDOA模型的最優化目標函數式為

由式(8)和式(19)，可得基于球面近似距離計算的二維TDOA模型的最優化目標函數式為

由式(14)和式(19)，可得基于等距離正圓柱投影的二維TDOA模型的最優化目標函數式為

由式(18)和式(19)，可得基于等角度正圓柱投影的二維TDOA模型的最優化目標函數式為

由式(14)和式(19)可得，基于等面積正圓柱投影的二維TDOA模型的最優化目標函數式為

適合無約束非線性規劃的一些最優化方法，可能存在少量的不收斂點[11]，對于含有超越函數的球面精確計算模型、球面等角度正圓柱投影模型和球面等面積正圓柱投影模型也不適用。因此，為避免不同算法可能帶來的收斂性、局部極值、精確度差別等問題，采用網格逐點搜索法[11]求解。

考慮到超短波電波傳播的距離通常不超過50 km，以TDOA定位網絡的幾何中心或者接收到最強信號的站點M0(λ0,φ0)為中心，從東、西、南、北各約50 km的范圍內進行逐點計算，找出使最優化目標函數f(λ,φ)取最小值的坐標點，即信號源的位置。具體地，搜索范圍從經度到，從緯度到，步長分別為和。利用Q×Q網格計算頂點和交叉點，共(Q+1)×(Q+1)個點。定位誤差均值一般不超過搜索步進的2倍，并且不會出現不收斂的情況。如果要提高定位精度，可減小搜索步長。

4 數值驗證

本文通過仿真，比較基于3種距離計算方法的TDOA定位模型在不同尺度、不同緯度下的性能差別。仿真參數設置如表2所示。

對于大地坐標下的球面精確計算定位模型、球面近似計算定位模型、等距離正圓柱投影定位模型（等價于經典的平面直角定位模型）、等角度正圓柱投影定位模型和等面積正圓柱投影定位模型，在緯度上每隔5°進行1 km、10 km、100 km共3種尺度的基線（站距）的仿真，以逐點計算的網格搜索方法，當不考慮時差測量誤差時，3種尺度下的定位誤差結果相同，均如圖3所示。

表2 仿真參數設置

圖3 當不考慮時差測量誤差時，3種尺度下的定位誤差比較

從圖3可以看出，在不考慮時差測量誤差的情況下，等角度正圓柱投影TDOA定位模型和等面積正圓柱投影TDOA定位模型的定位誤差比較大，在任何緯度時均在26%左右，不可用；球面精確計算TDOA定位模型的定位誤差極小，可用；球面近似計算TDOA定位模型的定位誤差較小，在低緯度時定位誤差在 0.54%以內，在中緯度時定位誤差在0.54%～1.6%，在高緯度時定位誤差高于10%，可用；等距離正圓柱投影TDOA定位模型（等價于經典的平面直角TDOA定位模型）在低緯度時定位誤差在7.1%以內，在中、高緯度時定位誤差隨緯度增加，最大可超過41%，因此只在低緯度地區可用。

對于大地坐標下的球面精確計算 TDOA定位模型、球面近似計算TDOA定位模型、球面等距離正圓柱投影TDOA定位模型（等價于經典的平面直角TDOA定位模型），在緯度上每隔5°進行1 km、10 km、100 km共3種尺度的基線（站距）的仿真，以逐點計算的網格搜索方法，獲取3種尺度下的誤差結果。當考慮時差測量誤差時，3種基線尺度下3種模型的定位誤差比較如圖4所示。

從圖4可以看出，當考慮時差測量誤差時，3種可用或者在低緯度地區可用的TDOA定位模型中，在1 km基線尺度時，即最大距離測量誤差與基線長度之比為 1.5%時，帶來 1.1%～1.3%的均方根誤差；在10 km以上基線長度時，即最大距離測量誤差與基線長度之比不到0.15%時，影響可以忽略。因此，球面精確計算TDOA定位模型與球面近似計算 TDOA定位模型的定位誤差也受時差測量誤差的影響，基線越短，影響越大。球面精確計算TDOA定位模型誤差極小，球面等距離正圓柱投影TDOA定位模型誤差最大，球面近似計算TDOA定位模型誤差較小；球面近似計算TDOA定位模型的定位誤差隨緯度升高而增加，而球面精確計算模型的定位誤差與緯度無關。原因是所用的球面上2點之間的距離計算方式不同，球面精確計算TDOA定位模型采用球面三角函數方式，而球面距離近似TDOA定位模型采用類似勾股定理的近似計算方式。

圖4 當考慮時差測量誤差時，3種基線尺度下3種模型的定位誤差比較

5 結束語

基于平面直角坐標與球面坐標的差異，本文提出了基于大地經緯度的幾種二維 TDOA無源定位數學模型。通過建模和仿真實驗，得到以下結論：球面精確計算TDOA定位模型誤差極小，定位誤差與緯度無關；球面近似計算TDOA定位模型誤差較小，定位誤差隨緯度升高而增加；等距離正圓柱投影 TDOA定位模型等價于傳統的平面坐標 TDOA定位模型，在低緯度定位誤差較小，但大于球面近似計算TDOA定位模型，可用，在高緯度地區定位誤差大，不可用；等角度正圓柱投影TDOA定位模型和等面積正圓柱投影 TDOA定位模型在不考慮時差測量誤差情況下的定位誤差就比較大，在任何緯度時均在26%左右，不可用。通過對1 km、10 km、100 km這3種基線尺度進行比較可知，定位誤差受到達時差測量誤差影響，基線越短，影響越大。因此，當需要精確計算時，應采用球面精確計算TDOA定位模型，但其含有超越函數，計算復雜度高，難以采用已有的TDOA定位求解方法解算；當采用近似計算時，宜采用球面近似計算TDOA定位模型，在低緯度也可采用等價于傳統的平面坐標 TDOA定位模型的等距離正圓柱投影TDOA定位模型，計算復雜度均低，可采用已有的TDOA定位求解方法解算。

更加精確的地球表面模型是橢球面模型，對應橢球面距離精確計算TDOA模型。由于地球的扁度僅為，通常在不超過100 km的超短波傳播尺度范圍內，精度的提高不明顯，而計算的復雜程度會大大提高。