時(shí)序數(shù)據(jù)的非線性最小二乘迭代分解算法

摘要：從時(shí)序數(shù)據(jù)中精確地分解出趨勢(shì)、周期及隨機(jī)噪聲等數(shù)據(jù)成分，能有助于人們掌握事物在演變過程中所蘊(yùn)藏的內(nèi)在規(guī)律.基于非線性最小二乘法，提出一種性能更為高效的時(shí)序數(shù)據(jù)分解算法。首先，基于關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)和趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)的方法從待分解序列中概要地析出各種不同的數(shù)據(jù)成分，然后，分別利用多項(xiàng)式函數(shù)、正弦諧波級(jí)數(shù)及自回歸模型對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)成分進(jìn)行擬合，最后，在加法模型中迭代求解各種數(shù)據(jù)成分的非線性最小二乘參數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，新設(shè)計(jì)的算法在分解精度和計(jì)算成本等指標(biāo)上均優(yōu)于現(xiàn)有的算法。

關(guān)鍵詞：時(shí)序分解;非線性最小二乘;關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn);趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào)：TP311.11

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在自然科學(xué)、工業(yè)生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)研究等諸多領(lǐng)域中，被考查的對(duì)象在伴隨著時(shí)間的變化過程中，其某些物理屬性往往表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，為此，它們常常以一串隨時(shí)間而變化的數(shù)據(jù)序列被人們記錄起來(lái)，這種序列通常稱為時(shí)間序列或時(shí)序數(shù)據(jù)。任何的時(shí)序數(shù)據(jù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換后，總可以被分解為趨勢(shì)、周期項(xiàng)及隨機(jī)噪聲共三種成分[1-3]。其中，趨勢(shì)成分代表了事物的長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì)，是決定數(shù)據(jù)大小的基本成分;周期成分表示事物有規(guī)則的重復(fù)運(yùn)動(dòng)，是在趨勢(shì)成分的基礎(chǔ)上所添加的量;而隨機(jī)噪聲成分則反映了趨勢(shì)和周期成分以外事物所受到的其它因素影響的總和，是屬于服從一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律的隨機(jī)分布。易知，若能精確地從時(shí)序數(shù)據(jù)中分解出上述的數(shù)據(jù)成分，則有利于人們對(duì)事物的發(fā)展進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)、控制和診斷[4-6]。

時(shí)序數(shù)據(jù)的建模與辨識(shí)是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)研究分支，由于有著廣泛的應(yīng)用場(chǎng)合，近年來(lái)得到了迅猛的發(fā)展。以時(shí)序數(shù)據(jù)的分解算法為例，周黔等通過定義基本趨勢(shì)的自然分割點(diǎn)為重要點(diǎn)，結(jié)合自底向上的分割方法，提出了一種精度較高的時(shí)序數(shù)據(jù)分段線性化的趨勢(shì)特征提取算法[7]，在此基礎(chǔ)上，黃雄波通過計(jì)算時(shí)序數(shù)據(jù)的各階趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)，有效地把時(shí)序數(shù)據(jù)劃分為多個(gè)不同的子序列模式，進(jìn)而設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一種高效的時(shí)序數(shù)據(jù)趨勢(shì)項(xiàng)的擬合算法[8];蔡智等根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)的定義及有關(guān)定理，把求解傅氏系數(shù)的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為求和運(yùn)算，并得到了一種易于實(shí)現(xiàn)的時(shí)序數(shù)據(jù)周期模式發(fā)現(xiàn)算法[9];徐峰等基于差分原理把非平穩(wěn)隨機(jī)序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)隨機(jī)序列，并根據(jù)序列的前后相依關(guān)系，采用自回歸模型（ auto regressive model，AR）對(duì)振動(dòng)時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行了有效的預(yù)測(cè)[10];常慧君等利用低通濾波器對(duì)時(shí)序的突變點(diǎn)進(jìn)行分析和提取，并在歐氏空間內(nèi)將時(shí)序數(shù)據(jù)分解為不同的數(shù)據(jù)成分，進(jìn)而設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一種基于時(shí)序數(shù)據(jù)分解的用戶網(wǎng)絡(luò)行為分析算法[11]。

現(xiàn)實(shí)生活中所記錄的時(shí)序數(shù)據(jù)通常具有非線性和非平穩(wěn)的特征，但基于計(jì)算簡(jiǎn)便的考慮，現(xiàn)有的分解算法往往是在線性模型上進(jìn)行的，故其分解精度難以提升。據(jù)此，基于非線性最小二乘法，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一種高精度的時(shí)序數(shù)據(jù)迭代分解算法，相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的正確性和有效性。

1 問題描述

設(shè)時(shí)序數(shù)據(jù)用Y_t。表示，其分解后的趨勢(shì)、周期和隨機(jī)噪聲成分依次地用H_i、p_i和X_i表示，則對(duì)應(yīng)的加法和乘法分解模型如式（1）和式（2）所示，

一般地說(shuō)，若時(shí)序數(shù)據(jù)的周期和隨機(jī)噪聲成分隨著趨勢(shì)成分的增加（或衰減）而加劇（或減弱），則應(yīng)采用乘法分解模型進(jìn)行描述;反之，就采用加法分解模型。

若分別用多項(xiàng)式函數(shù)、正弦諧波級(jí)數(shù)及自回歸模型對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)的趨勢(shì)成分H_i、周期成分P_i和隨機(jī)噪聲成分X_i進(jìn)行擬合，以加法分解模型為例，則有

2 時(shí)序數(shù)據(jù)的非線性最小二乘迭代分解算法

對(duì)于傳統(tǒng)的時(shí)序數(shù)據(jù)分解算法而言，通常是利用自相關(guān)函數(shù)對(duì)待分解序列的趨勢(shì)和周期成分進(jìn)行識(shí)別，然后依次地對(duì)它們進(jìn)行提取和分離，最后把剩余的數(shù)據(jù)成分近似為某一平穩(wěn)序列進(jìn)行處理[12-14]。為了能以較少的計(jì)算成本并獲得較高的分解精度，本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)算法其工作原理是，首先對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行概要分解，并初步獲得如式（3）所示的線性分解參數(shù)，然后以這些線性分解參數(shù)為迭代初值，在式（6）所示的模型基礎(chǔ)上，對(duì)各種數(shù)據(jù)成分參數(shù)進(jìn)行非線性最小二乘的迭代計(jì)算。

2.1 時(shí)序數(shù)據(jù)的概要分解

時(shí)序數(shù)據(jù)的概要分解過程主要分為三步：（1）從序列中析出關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn);（2）利用關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)的趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)識(shí)別不同的數(shù)據(jù)成分;（3）基于最小二乘法估算各種數(shù)據(jù)成分的線性分解參數(shù)。

（1）以三個(gè)連續(xù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)為一組，根據(jù)它們的夾角大小從待分解序列中自左至右地析出關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

把序列相鄰兩點(diǎn)之間的趨勢(shì)劃分為“平穩(wěn)”、“上升”和“下降”共3種狀態(tài)，則三個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的夾角（記為φ）便有如圖1所示的9種構(gòu)成情況。不難發(fā)現(xiàn)，若夾角|φ-π|→0，則三個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)點(diǎn)就趨向三點(diǎn)共線;反之，中間的數(shù)據(jù)點(diǎn)便越有可能成為序列的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)。于是，在實(shí)際應(yīng)用中，可以令φ為某一閾值便可析出序列的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

（2）計(jì)算關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)的趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果從待分解序列中識(shí)別不同的數(shù)據(jù)成分。

易知，若關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)的一階趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)具有某一余弦函數(shù)的形態(tài)，則此時(shí)可以判定時(shí)序數(shù)據(jù)存在周期成分，且它的周期長(zhǎng)度可通過關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)的跨度來(lái)獲取;而趨勢(shì)成分則可通過計(jì)算關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)的高階趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判別，并以最后某一高階趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)的階次作為多項(xiàng)式擬合函數(shù)的最高項(xiàng)數(shù)。

（3）基于最小二乘法估算出趨勢(shì)和周期成分的線性分解參數(shù)，把剩余的數(shù)據(jù)成分視作某一平穩(wěn)序列，并用伯格（ Burg）算法對(duì)其自回歸模型參數(shù)進(jìn)行估算。

步驟3：依照式（19）所示，迭代求解時(shí)序數(shù)據(jù)非線性最小二乘的分解參數(shù)向量;

步驟4：若當(dāng)前的分解誤差大于ε，則把當(dāng)前分解向量→x^k，并跳轉(zhuǎn)步驟3;否則跳轉(zhuǎn)步驟5;