廣義二項式展開式在微積分課程中的教學意義

趙偉 谷琳琳

[摘 要] 對二項式展開式的推廣是牛頓發明微積分的基石，大學本科微積分課程在教學中會涉及廣義二項式展開式。對廣義二項式展開式在微積分課程中的教學意義進行探討，并對此部分內容的教學過程進行設計。

[關 鍵 詞] 廣義二項式展開式；HPM；數學思維方式

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2019）01-0096-03

一、引言

二項式定理，也叫牛頓二項式定理，是由牛頓于1664—1665年間提出。二項式定理可用下述公式表示：

（a+b）n= Cknan-kbk，n∈N，

其中，把Ckn= 稱為二項式系數（binomial coefficient），即取的組合數目，此系數亦可表示為楊輝三角形。根據該定理，可以將多項式（x+y）n擴展為涉及axbyc形式的和的總和，其中指數b和c是具有b+c=n的非負整數，并且系數a每個項是根據n和b的特定正整數。

二項式定理可以用數學歸納法證明：

當n=1時，則（a+b）1= Ck1a1-kbk=a+b。

假設二項展開式在n=m時成立。設n=m+1，則：

（a+b）m+1=a（a+b）m+b（a+b）m

=a Ckmam-kbk+b Cjmam-jbj

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Cjmam-jbj+1

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Ck-1mam-k+1bk

=am+1+ Ckmam-k+1bk+ Ck-1mam-k+1bk+bm+1

=am+1+bm+1+ （Ckm+Ck-1m）am-k+1bk

=am+1+bm+1+ Ckm+1am-k+1bk

= Ckm+1am+1-kbk

二項式定理推廣到任意實數次冪時稱為廣義二項式定理：

（x+y）α= Ckαaα-kbk，a∈R，

其中Ckα=

對廣義二項式定理，一個常用形式為

（1+x）m= Ckmxk，m∈R

尤其，當上式左邊指數為負整數時，得公式：

=（1+x）-n= Ck-nxk= （-1）kCkn+k-1xk，n∈N

牛頓推廣二項式定理，得到的廣義二項式定理，促使他以此為基礎發明了微積分，然而他對廣義二項式定理的證明沒有給出，歐拉嘗試過，但也失敗了，直到1812年高斯利用微分方法才給出了證明。

二、廣義二項式定理在教學中的意義

廣義二項式展開式作為數學史融入數學教學和數學思維方式指導數學教學的一個具體案例，我們基于HPM“數學史融入數學教學”的理念[1]，結合“教學三角形”理論，從三方面討論廣義二項式定理在教學中的意義：

（一）教師發展

教師是教育的活動主導者，教師的專業化發展對發揮教師的作用至關重要。教師也是從學生逐步過渡和成長為教師的，教師的知識構架不是天生的，是在不斷學習和探索中完善起來的。廣義二項式定理既涉及數學史，又涉及數學的創造性思維方式。搞清楚廣義二項式定理的發展歷程和對微積分產生過程的奠基性作用，對教師完善自己的知識構架，無疑是有很大益處的。

（二）教學內容

數學教學內容的選擇是數學課程教學研究永恒的主題，對數學課程標準的改進和數學教材的優化更是數學課程改革所面臨的核心問題。傳統經典的教學內容，是引例、定義或定理、注解或證明、例題或應用，即知識性的教學內容。現代教學改革加入了很多應用性實例，既體現知識的應用價值，又講解如何學以致用，這是一種進步，然而這進步還沒有結束，現代HPM理念的提出，更是豐富了現代數學教學的內容。然而這還不夠，素質教育要求培養學生的創新能力，而創新能力的關鍵是創新思維。

對創新思維的培養，筆者認為有兩點很重要：其一，創新意識，要有提出新問題的意識，而不是習慣于隨波逐流，勇于和習慣于提出新問題是創新意識的體現，也是創新的起點；其二，思維方式的學習，學習別人解決問題的思考角度、邏輯關系、靈感來源等，融會貫通之后用這些思維方式解決提出的其他新問題，這是創新的關鍵。

廣義二項式定理一方面涉及數學史，這為豐富教學內容提供了更多的案例，另一方面，廣義二項式定理作為牛頓發明微積分的起點，其不斷提出問題，改進結果，不斷融會貫通的過程，正是我們學習創新思維方式的極佳案例。

（三）學生成長

學生是數學學習的主體。“學生學會了什么”既是教學的起點，又是教學的歸宿；既是教學過程的體現，又是教學有效的依據。學習廣義二項式定理，對學生成長而言至少具有以下三方面的意義。

其一，知識的豐富。對廣義二項式定理的學習有助于學生對數學知識的理解與技能的掌握。因為廣義二項式定理展現了微積分理論的產生背景與發展過程以及揭示出數學創造背后的文化內涵，既有利于提升學生對理論的理解，又可以在一定程度上加深對概念本質的認識。

其二，思維的培養。數學的歷史是一個巨大的寶庫，沉積了無數先哲的方法和思想，在課堂上展示多樣化的數學思想方法，既可以讓學生學到多種多樣的數學思維，為他們創造更多的探究機會，同時古今不同數學思想方法的對比還有利于拓寬學生的數學思維。廣義二項式定理正好展示了一個數學問題的推廣及其應用，同時也是微積分產生的基石，其體現了微積分產生的核心思想之一。對廣義二項式定理的學習有助于學生數學創新思維的培養。

其三，興趣與情感的增強。將廣義二項式定理的數學史融入微積分的教學過程中，有利于培養學生正確的情感、態度和價值觀，有利于增強學生學習數學的興趣、激發學生的學習動機。數學課堂上多元文化的滲透，還可以使學生認識到數學的多樣性以及數學與其他學科之間的聯系。

總之，將廣義二項式定理的數學史融入微積分的教學過程中，可以幫助學生更好地理解和認識微積分。學生不但能夠體會到數學知識的起源與發展，還可以獲得數學探究的美好體驗。

三、教學過程設計

（一）教學前提

以下例題來源于同濟大學數學系編《高等數學》（第七版下冊）第十二章第四節例6。

例：將函f（x）=（1+x）m展開成x的冪級數，其中m為任意實數。

解：由f （n）（0）=m（m-1）…（m-k+1），n∈N得麥克勞林級數

1+mx+ x2+…+ xk+…，

此級數收斂半徑為R= = =1，

設此級數的和函數為F（x），x∈（-1，1），得（1+x）F′（x）=mF（x），F（0）=1，

解得F（x）=（1+x）m，即（1+x）m= Ckmxk，m∈R，x∈（-1，1）。

（二）類比聯想

由二項式定理（a+b）n= Cknan-kbk，n∈N得

（1+x）n= Cknxk，n∈N，x∈R

（三）教師板書

（四）教師提問

1.兩個公式有何共同點和區別？

2.微積分方法在此處有何意義？

（五）學生探索

1.公式證明方法不同：公式一可由二項式定理得到，公式二可由廣義二項式定理得到；二項式定理的證明可由初等的組合數學方法經過數學歸納法證明，而廣義二項式定理的證明需要高等的微積分方法通過冪級數展開證明。

2.公式實用范圍不同：公式一要求n∈N，x∈R；公式二要求m∈R，x∈（-1，1）。

（六）教師總結

1.方法的價值：體會初等組合方法與高等微積分方法的不同意義。

2.推廣的意義：牛頓推廣二項式定理，得到的廣義二項式定理，促使他以此為基礎發明了微積分。

（七）教師提供課外閱讀資料

《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》，美國William Dunham著，李伯民、汪軍、張懷勇譯。

參考文獻：

[1]鄭瑋，鄭毓信.HPM與數學教學中的再創造[J].數學教育學報，2013（3）：5-7.

[2]方倩.“二項式定理”：在歷史中探源、求法、尋魅[J].教育研究與評論，2016（9）：37-41.

[3]丘維聲.用數學的思維方式教數學[J].中國大學教學，2015（1）：9-14.

[4]同濟大學數學系.高等數學（第七版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2014-08.

[5]William Dunham.微積分的歷程：從牛頓到勒貝格[M].李伯民，汪軍，張懷勇，譯.北京：人民郵電出版社，2010-08.

編輯 馬燕萍