數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的探索

姜麗穎 張國林

[摘 要] 線性代數(shù)的學(xué)習(xí)有其重要目的，通過數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，使其作用得到充分發(fā)揮，對相關(guān)實(shí)際問題進(jìn)行有效處理。分析線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題以及數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的作用，并提出數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的對策。

[關(guān) 鍵 詞] 數(shù)學(xué)；建模思想；線性代數(shù)教學(xué)

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2019）01-0072-02

在全部高等院校中，理工類與經(jīng)管類都開設(shè)了線性代數(shù)這門公共必修基礎(chǔ)課，其抽象性以及實(shí)用性十分鮮明，為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。不過，線性代數(shù)教學(xué)的劣勢也較為突出，如計(jì)算復(fù)雜度大以及知識乏味等，針對此，將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)勢在必行。

一、線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題

（一）教材層次淺薄，尚未及時更新教材內(nèi)容

長期以來，在開展線性代數(shù)教學(xué)過程中，仍舊應(yīng)用傳統(tǒng)教材，其所重視的是理論體系的嚴(yán)謹(jǐn)性及完整性，未緊密貼合定義與案例背景等，進(jìn)而對教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生極為負(fù)面的影響，導(dǎo)致其太過抽象，使學(xué)生產(chǎn)生畏懼情緒，無法保證學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量，且教材層次淺薄，雖然部分教材可以貼合相應(yīng)案例，不過仍舊無法在第一時間更新教材內(nèi)容，致使學(xué)生解決實(shí)際問題的能力得不到有效培養(yǎng)與提高，無法為教學(xué)質(zhì)量提供重要保障。

（二）尚未有機(jī)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)知識

在高等院校中，正在對線性代數(shù)這門基礎(chǔ)課進(jìn)行專業(yè)整合，并且對其學(xué)時進(jìn)行壓縮，總共大約有三十個學(xué)時，主要內(nèi)容有矩陣及其運(yùn)算以及向量組線性相關(guān)性等。可以從中發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)重缺少學(xué)時，導(dǎo)致教師在開展課堂教學(xué)時爭分奪秒，太過重視理論知識，并未與實(shí)際生活相結(jié)合，缺乏實(shí)踐，對其他課程與所屬專業(yè)的銜接非常不利，導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)常有疑問，這門課程的作用到底是什么？自己在學(xué)習(xí)過程中可以提高哪些能力？

（三）學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力較差

在初中與高中階段，學(xué)生所接受的是應(yīng)試教育，該教育體制有著根深蒂固的影響，在此條件下，學(xué)生教學(xué)實(shí)踐能力得不到有效培養(yǎng)與提高，僅僅為解題而解題。所以，對于學(xué)生來說，通過應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法觀察身邊事物的能力與通過數(shù)學(xué)分析方法解決實(shí)際問題的能力非常欠缺。除此之外，當(dāng)開展線性代數(shù)教學(xué)時，大部分學(xué)生在低維情形計(jì)算過程中所應(yīng)用的僅僅是一支筆和一張紙，并未應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)。但是，在通過線性代數(shù)對專業(yè)問題進(jìn)行處理時，存在大量數(shù)據(jù)與變量，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，無法調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性與主動性。所以，當(dāng)前急需解決的問題是通過何種方式提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，培養(yǎng)實(shí)用型人才。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的作用

（一）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，提高創(chuàng)新能力

針對教育而言，不僅要讓學(xué)生掌握理論知識，還需要用所學(xué)習(xí)的知識解決實(shí)際問題。不過，現(xiàn)在的線性代數(shù)教學(xué)所重視的是理論，對實(shí)踐并不重視，在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生并未感覺有趣，無法調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性與主動性，更加不能提高其創(chuàng)新能力。若是教師可以將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，另一方面調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性，主動解決實(shí)際問題，讓學(xué)生從根本上明確線性代數(shù)的重要性與價(jià)值，并且有利于他們創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

（二）加強(qiáng)線性代數(shù)吸引力，使學(xué)生獲取更多益處

對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模的重要性不言而喻，有利于培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力。如果將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)，可以使其作用得到充分發(fā)揮，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其真正認(rèn)識到線性代數(shù)的價(jià)值，有效改善課堂教學(xué)沉悶的問題，加強(qiáng)該課程的吸引力。通過觀察當(dāng)前數(shù)學(xué)建模教學(xué)狀況發(fā)現(xiàn)，學(xué)生所獲取的收益較小，但在所有高等院校中，理工類與經(jīng)管類專業(yè)都開設(shè)了三門公共數(shù)學(xué)必修課，分別是高數(shù)、線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)，如果可以在這些課程中融入數(shù)學(xué)建模思想，必定會讓學(xué)生受益。

（三）線性代數(shù)教師得到自我提升

數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)，對該門課程的任課教師提出更高要求，必須同時具備豐富的理論知識以及應(yīng)用線性代數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力，因此，任課教師必須及時更新自身知識與技能，由此提高教學(xué)及科研能力，保證教學(xué)效率與質(zhì)量。

三、數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的方法

線性代數(shù)具有較強(qiáng)抽象性，若是可以通過實(shí)際問題對學(xué)生進(jìn)行有效引導(dǎo)，使其仔細(xì)觀察、討論及解決問題，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣與熱情，使其更為精確地掌握知識。當(dāng)開展實(shí)際教學(xué)時，要將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)，可以應(yīng)用兩種方法。

（一）應(yīng)用數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊(duì)形式，以小組為單位探討特定問題，將討論所得結(jié)果作為重要依據(jù)，將其形成報(bào)告，并將課堂教學(xué)內(nèi)容引出來

建模過程中的實(shí)際問題，不僅可以來源于實(shí)際生活，還可以來源于科研活動。比如，在對矩陣特征值以及特征向量進(jìn)行講解的時候，教師可以將全部學(xué)生劃分成不同的小組，對以下問題進(jìn)行探討與交流。

某一種昆蟲，對其進(jìn)行分組，可以分成三個小組，第一組是不產(chǎn)卵的幼蟲，第二組是每個成蟲兩個星期產(chǎn)卵80個，第三組是每個成蟲兩個星期產(chǎn)卵100個。如果每個卵的成活率是8%，第一組與第二組昆蟲可以進(jìn)入下一成蟲組的概率是9%、18%。并且將每個小組的昆蟲數(shù)量設(shè)定為80只，分別算出第二星期、第四星期以及第六星期之后，各類昆蟲的數(shù)量。此外，還需要對以下問題進(jìn)行思考。

1.兩個星期的時間是分析間斷點(diǎn)，對周齡組數(shù)方面昆蟲的變化趨勢進(jìn)行探究。在相鄰兩個時間段中，每個周齡數(shù)組的昆蟲數(shù)目比例是否處于穩(wěn)定狀態(tài)？是否出現(xiàn)極端變化？是什么導(dǎo)致了這種變化？

2.在對昆蟲數(shù)目進(jìn)行控制時，若是通過殺蟲劑將其成活率降低，導(dǎo)致每個小組的昆蟲數(shù)目減少一半，那么該殺蟲劑的有效性如何？

除此之外，還可以將該方法應(yīng)用于外來物種入侵方面。對于這些問題，林業(yè)部門、農(nóng)業(yè)部門以及相關(guān)防疫部門的重視程度不斷提高，數(shù)值線性代數(shù)與生活息息相關(guān)，并且這也是解決很多工程問題的重要工具。

（二）在開展課堂教學(xué)時，將部分關(guān)于課堂內(nèi)容的實(shí)際問題融入其中

在講解特征值時，將總體課時以及教學(xué)內(nèi)容作為重要依據(jù)，劃分較長時間講述昆蟲繁衍問題。針對工科學(xué)生而言，能夠以其專業(yè)為依據(jù)，在課程教學(xué)過程中融入更多實(shí)際問題。

所有的方法，首要條件都是需要教師在開展教學(xué)之前做好準(zhǔn)備工作，收集整理相關(guān)資料，可以從專業(yè)教材中獲取。將教學(xué)與科研兩項(xiàng)工作有機(jī)結(jié)合在一起，由此保證在選擇例題方面更加具有代表性。

四、數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的途徑

線性代數(shù)課程本身具有較多內(nèi)容，嚴(yán)重缺少課時，不過，數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)，并不是用建模課程內(nèi)容搶占線性代數(shù)課時，針對此，從線性代數(shù)概念以及課外作業(yè)兩方面，探討數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)。

（一）數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)概念

從廣義角度而言，在線性代數(shù)課本之中存在大量內(nèi)容，包括向量以及矩陣等，這些內(nèi)容具有較大復(fù)雜性，其概念非常抽象，并且來源于實(shí)際。所以，在對這些概念進(jìn)行講解的時候，教師可以選擇與應(yīng)用部分非常生動的實(shí)例，由此激發(fā)學(xué)生的興趣與熱情，吸引他們的注意力，進(jìn)而完成概念模型的構(gòu)建，讓學(xué)生真正體會到實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)的過程。比如，在線性代數(shù)之中，矩陣是一個不容忽視的概念，當(dāng)對這一概念進(jìn)行引入的時候，能夠?qū)⒛硞€簡單投入產(chǎn)出問題作為切入點(diǎn)，通過矩形表表現(xiàn)這些數(shù)據(jù)，這種簡化思想，也就是建模抽象化思想非常好的表現(xiàn)，將該矩形表稱為矩陣。

（二）數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課外作業(yè)

課堂教學(xué)與課外作業(yè)息息相關(guān)，課外作業(yè)可以對教師將講解的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行鞏固。但是，對線性代數(shù)相關(guān)概念的實(shí)際應(yīng)用問題，當(dāng)前的教材中并未涉及，要補(bǔ)充該內(nèi)容，可以將部分線性代數(shù)建模問題補(bǔ)充在習(xí)題之中。

1.在完成第一到第二單元的學(xué)習(xí)之后，以所學(xué)內(nèi)容為依據(jù)開展一次大型作業(yè)，將全部學(xué)生劃分成不同的小組，每個小組的人數(shù)是三人，然后以小組為單位完成作業(yè)，也就是一篇小論文。該方法對學(xué)生十分有利，在完成作業(yè)的過程中，學(xué)生鞏固在課堂教學(xué)過程中教師所講解的線性代數(shù)內(nèi)容，且使自身寫作能力以及自學(xué)能力得到有效提高，此外還可以培養(yǎng)其團(tuán)隊(duì)精神。與此同時，學(xué)生在完成大型作業(yè)時也可以與科研方法相接觸。

2.全部學(xué)生都完成大型作業(yè)后，教師可以組織學(xué)生，對自己做作業(yè)時的思路與該過程中遇到的問題進(jìn)行講述，然后教師點(diǎn)評學(xué)生的文章，為其指出需要改進(jìn)的地方。該教學(xué)方式發(fā)揮著不容小覷的作用，能夠更好地督促學(xué)生，使其在保證作業(yè)質(zhì)量的基礎(chǔ)上縮短完成時間，可以提高學(xué)生的語言表達(dá)能力，拉近教師與學(xué)生之間的距離，改善兩者的關(guān)系，為教學(xué)效率以及質(zhì)量提供重要保障。

綜上所述，將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)，全力提高學(xué)生的建模能力，該做法可以達(dá)到目前人才培養(yǎng)要求，具有一定可行性。與此同時，還需對原有課程體系進(jìn)行充分認(rèn)知，這是長期以來的歷史積累所得，如果缺乏足夠依據(jù)，必定不可從根本上發(fā)生變動。所以，在將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)時，必須循序漸進(jìn)，無法一蹴而就，充分結(jié)合已有教學(xué)內(nèi)容。這一教學(xué)方法發(fā)揮著不可替代的作用，能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，調(diào)動他們的積極性與主動性，提高其創(chuàng)新能力，改善教師與學(xué)生之間的關(guān)系。

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