一種新的直齒輪復合修形設計方法

楊碩文，唐進元

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一種新的直齒輪復合修形設計方法

楊碩文，唐進元

(中南大學 機電工程學院，高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083)

以直齒輪齒廓修形量、齒廓修形高度、齒廓修形冪指數、齒向修形量這4個基本參數為變量，取動態傳遞誤差峰峰值、最大接觸應力加權最小為優化目標，使用有限元方法計算接觸應力；考慮軸承、軸、陀螺力等因素的影響，使用有限元節點法計算動態傳遞誤差，以 Kriging方法為優化方法，構建一種新的直齒輪復合修形設計方法，并通過一對實際齒輪傳動來驗證計算模型。研究結果表明：用所提出的方法優化后得到齒輪動態傳遞誤差峰峰值相對于優化前降低75.98%，最大接觸應力降低21.48%，這表明所提出的復合修形優化方法對齒輪修形設計具有參考與應用價值。

齒輪傳動；復合修形；Kriging方法；有限元節點法

齒輪修形是降低齒輪振動、噪聲和提高可靠性的重要途徑[1]。在齒輪修形優化設計中，人們對齒廓修形[2]或者齒向修形[3]的研究較多，而對齒廓修形疊加齒向修形的齒輪復合修形研究較少[4]。現有的修形優化方法往往耗費大量的時間且需要重復操作[5]，此外，動力學性能計算往往忽略軸承、軸和陀螺力的影響[6]：因此，研究一種設計效率高、考慮因素全面的齒輪復合修形優化設計方法很有必要。WU等[7]通過有限元靜力學分析確定了最優齒廓修形類型及修形參數，通過動態接觸試驗證明了齒廓修形在減振方面的作用。MARCELLO等[8]提出使用隨即單純形優化算法對齒廓修形參數進行優化，使用蒙特卡洛搜索法搜索齒廓修形最優值。郭家舜等[9]基于人字齒輪彎扭軸耦合動力學模型，考慮了時變齒側間隙距離，以動載系數來評價最優修形參數。楊麗等[10]通過有限元法建立樣本點，通過Kriging優化方法和遺傳算法對齒廓修形進行優化，通過算例發現該方法相對于ISO標準公式修形方法減振效果更好，驗證了Kriging優化方法的優越性，但該研究只針對齒廓修形，沒有涉及復合修形，復合修形變量要多于齒廓修形變量，同時，在動態性能計算方面，使用的方法沒有考慮軸承、軸和陀螺力等因素對動態響應的影響。為此，本文作者基于有限元方法計算復合修形齒輪的靜態傳遞誤差、嚙合剛度、最大接觸應力；通過有限元節點法計算動態傳遞誤差，并以動態傳遞誤差峰峰值、最大接觸應力最小進行多目標優化，選取實際齒輪參數用Kriging方法進行復合修形優化設計。

1 直齒輪復合修形原理與方法

齒輪需要齒廓修形來減小由加工所產生的基節誤差與傳動時受載變形所引起的嚙入嚙出沖擊及高傳動誤差幅值，也需要齒向修形來減少邊緣接觸和避免應力集中，所以，在修形時，2種修形量必須同時考慮，要充分利用這2種修形量的優點。復合修形包括齒廓修形和齒向修形2種修形方式。

1.1 齒廓修形

齒廓修形示意圖如圖1所示。齒廓修形包括3個要素，即修形量、修形長度和修形曲線。圖1中，αa為齒廓修形量，Ca為嚙合線方向上修形長度，Na為修形終止直徑，Ca為修形起始直徑。修形曲線一般采用以冪指數形式表示的修形曲線[11]：

式中：l為上界點至嚙合始點或下界點至嚙合終點的距離，l=dNa?dCa；x為嚙合位置的相對坐標，x=d?dCa；d為嚙合位置處直徑；b為修形冪指數系數；e為某一點的齒廓修形量。

1.2 齒向修形

圖2所示為齒向鼓形修形的示意圖，為最大鼓形量，在齒寬兩端取相等值。

圖2 齒向修形示意圖

2 齒輪傳動動態傳動誤差求解的有限元節點法

有限元節點齒輪動力學建模方法是一種較新的建模方法[12]，相對于其他齒輪動力學建模方法，它的主要特點是：考慮了軸的柔性對齒輪系統的影響；考慮了高速齒輪系統的陀螺力，實現對齒輪系統渦動效應分析；考慮了軸承對齒輪系統的影響；可模擬振動在齒輪系統中的傳遞過程。

采用有限元節點法對單級直齒輪副進行動力學建模，如圖3所示。該系統采用 18個節點建模，其中主動軸和從動軸各取 9個節點，每個節點含 6 個自由度，即3個平動自由度和3個轉動自由度。下面根據轉子動力學理論，分別得出齒輪轉子、軸、軸承以及齒輪嚙合作用的建模過程。

2.1 齒輪轉子建模

圖3 齒輪軸動力學模型

將齒輪簡化為轉子(圓盤)，并應用拉格朗日方法并線性化，可以得到矩陣形式的齒輪轉子的運動方程：

其中：

2.2 軸的建模

利用 Timoshenko 梁單元理論對軸單元進行建模，可以得到矩陣形式的無阻尼軸的運動方程：

其中：為軸的質量矩陣；為陀螺矩陣；為剛度矩陣，它們的表達式見文獻[13?15]。

2.3 軸承的建模

軸承的支撐作用以無質量的彈簧和阻尼代替，其受力點假設位于軸承中點處節點。軸承的剛度矩陣和阻尼矩陣可以寫成：

2.4 齒輪嚙合作用建模

齒輪副的嚙合作用導致2個傳遞力的轉子之間存在明顯的耦合作用，該耦合作用可根據輪齒嚙合法線方向的力關聯起來，以剛度的形式表達。嚙合齒輪副的運動方程為

式中：

其中：為齒側間隙；m0和m1均為間隙函數；k為嚙合剛度；c為嚙合阻尼；()為靜態傳遞誤差。

2.5 系統動力學方程

根據式(2)~(6)，最終得到系統的動力學方程為

式中：,,和分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺力矩矩陣和剛度矩陣；為節點位移矩陣；而()為齒輪側隙引起的非線性函數；為靜態誤差激勵和外載荷矩陣。

3 基于Kriging優化方法的直齒輪復合修形設計方法

3.1 Kriging優化方法原理

Kriging優化方法作為一種半參數化的插值方法特別適用于強非線性問題求解，近年來在工程優化領域得到廣泛應用[10]，在某一點的預測是通過空間上已知所有點的數據加權求和得到。 Kriging預測優化模型包含回歸部分和非參數部分,模型由多項式和隨機分布2部分組成：

式中：為設計變量；()為待擬合的響應函數；()為已知的回歸模型，通常是多項式函數；為相應的待定參數；()是均值為0、方差為2的隨機函數，表示對全局模擬的偏差。模型詳細構建過程見文 獻[16]。

3.2 Kriging優化方法建模方法

DACE(design and analysis of computer experiments)是LOPHAVEN等利用 MATLAB 編制的Kriging工具箱[17]，它有2個主要函數即dacefit和predictor。函數dacefit根據試驗數據點建立Kriging模型，而函數predictor根據Kriging模型計算待測點的響應值，生成Kriging優化方法。

3.3 復合修形優化模型

針對復合修形，變量主要取齒廓修形量1、齒廓修形高度2、齒廓修形冪指數3、齒向修形量4這4個變量。然后，確定這4個變量的范圍，在所確定的范圍內抽取數個樣本點，參考文獻[18]中方法，用有限元方法計算樣本點的最大接觸應力2以及嚙合剛度和靜態傳遞誤差。將樣本點的嚙合剛度和靜態傳遞誤差導入有限元節點法動力學模型(7)，計算得到動態傳遞誤差峰峰值1。以動態傳遞誤差峰峰值1、最大接觸應力2最小進行多目標優化，目標函數可表示為

式中：y(=1, 2, 3, 4)為優化變量；Qmin和Qmax分別為修形量最小值和最大值；10和20分別為未修形的動態傳遞誤差峰峰值和最大接觸應力；1和2為各目標權系數，本文取1=2=0.5。

3.4 基于Kriging優化方法的直齒輪復合修形設計方法

以目標函數最小為目標，在給定精度下，通過Kriging優化方法確定最佳修形參數。齒輪復合修形優化設計方法具體流程圖如圖4所示，其中，預測精度判別值根據設計要求確定，精度是指目標函數值計算值與Kriging方法預測值的相對誤差。

圖4 基于Kriging優化方法的直齒輪復合修形設計方法流程

4 復合修形優化設計方法的驗證與應用

4.1 齒輪基本參數

以1對直齒輪為例，齒輪參數如表1所示。此外，齒輪運動精度等級為6，兩齒輪軸線平面內安裝誤差為29.594 9 μm，垂直于兩齒輪軸線平面內安裝誤差為29.594 9 μm，基節極限偏差為6 μm，軸段長度為 10 mm，軸段外徑和內徑分別為30 mm和0 mm；軸承剛度k，k和k分別為1.49×108，1.92×108和5.22×106N/m；軸承扭轉剛度和分別為2.94×103和1.74×103N·m/rad；軸承阻尼為1 000 N·s/m。

表1 齒輪參數

4.2 Kriging 模型預測樣本點的選取

1) 齒廓修形量max。由ISO公式[19]力max=At/ (αγ) (其中A為使用系數，t為圓周力，為齒寬，α為重合度，γ為綜合剛度，力max為齒輪受力變形量)和基節極限偏差制max可以得到經驗公式齒廓修形量為max=力max+制max=11.304 1 μm。齒廓修形量范圍取(0.5max，2max)，即(5.652 1，22.608 2) μm，從中取6組。

2) 齒廓修形高度。修形高度一般取短修形到長修形之間的值[20]，這里修形高度定義為嚙合線方向修形長度除以法向模數，齒廓修形高度范圍取(0.713 9，1.427 9)，從中取6組。

3) 齒廓修形冪指數。齒廓修形冪指數一般取1～2[11]，從中取6組。

4) 齒向修形量。由ISO公式[21]=0.5= 0.5(f+1.5f)(式中為等效嚙合歪斜度，f為由彎扭變形引起的嚙合歪斜度，f為螺旋線斜率偏差)計算得到經驗公式齒向修形量=8.348 8 μm。齒向修形量范圍取(0.5，2)，即(4.174 4，16.697 6) μm，從中取6組，共6×6×6×6＝1 296組。

4.3 Kriging方法預測準確性驗證

為了驗證Kriging預測模型的準確性，一方面，從變量范圍中隨機抽取5組1，2，3和4，用Kriging方法得到目標函數值的預測值；另一方面，基于這5組變量，用有限元方法、有限節點方法進行計算，得到實際的目標函數計算值。將目標函數預測值與實際計算值進行對比，對比結果見表2。從表2可以看出：目標函數預測值與實際計算值相對誤差均在1%以內，驗證了Kriging預測的精準性。

4.4 優化結果對比

考慮1，2，3和4這4個變量，以0.01 μm為搜索精度，找到Kriging預測面上目標函數值最小的點，其所對應的變量參數便為最佳修形參數，見表3。從表3可以看出：優化前的動態傳遞誤差峰峰 值為28.162 7 μm ，優化后的動態傳遞誤差峰峰值為6.764 2 μm，相對于優化前動態傳遞誤差峰峰值降低75.98%。優化前的最大接觸應力為1 344.551 0 N/mm2，優化后的最大接觸應力為1 055.669 9 N/mm2，優化后相對于優化前降低21.48%。優化前后的動態傳遞誤差曲線及其頻譜圖分布分別如圖5和圖6所示。從圖5和圖6可見：優化前的動態傳遞誤差頻譜圖2倍頻幅值較大，為11.72 μm，優化后的動態傳遞誤差頻譜圖2倍頻幅值為2.70 μm，較優化前有明顯降低，說明此修形方法能有效減小齒輪振動。

表2 誤差對比

表3 Kriging優化設計結果對比

圖5 優化前動態傳遞誤差曲線及其頻譜

圖6 優化后動態傳遞誤差曲線及其頻譜

5 結論

1) 綜合Kriging優化方法、齒輪動力學建模的有限元節點法、接觸應力計算有限元方法，提出一種新的圓柱直齒輪復合修形參數設計方法。

2) 采用有限元節點法動力學分析方法計算齒輪傳動動態傳遞誤差，考慮了軸承、軸和陀螺力的影響，所得結果更接近實際情況，更具科學性。

3) 對1對齒輪傳動修形參數進行實際計算，優化后的動態傳遞誤差峰峰值相對于優化前降低75.98%，最大接觸應力降低21.48%，動態傳遞誤差頻譜圖2倍頻的幅值明顯降低，所提出的齒輪復合修形優化設計方法可為齒輪傳動修形設計提供參考。

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A new design method for compound modification of spur gear

YANG Shuowen, TANG Jinyuan

(State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Taking four basic parameters of the spur gear modification as the variables, and taking the peak-to-peak value of the dynamic transmission error and the maximum contact stress weighted minimum as the optimization goal, the contact stress was calculated using the finite element method. Considering the influence of factors such as bearings, shafts and gyro, etc, the finite node element method was used to calculate the dynamic transfer error. Taking the Kriging method as the optimization method, a new spur gear compound modification design method was constructed. A pair of actual gear transmissions was used to verify the method. The results show that the peak?to?peak value of the dynamic transmission error of the gear after optimization obtained by the present method is reduced by 75.98% and the maximum contact stress is reduced by 21.48%,which indicates that the proposed optimization method of compound modification has reference and application value for gear modification design.

gear transmission; compound modification; Kriging method; finite element node method

TH132.41

A

1672?7207(2019)05?1082?07

10.11817/j.issn.1672?7207.2019.05.010

2018?03?07；

2018?05?07

國家自然科學基金資助項目(51535012, U1604255); 國家重點研發計劃項目(2017YFB1300700); 中南大學研究生自主探索創新項目(2018zzts475)(Projects(51535012, U1604255) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2017YFB1300700) supported by the National Key R&D Plan; Project(2018zzts475) supported by the Independent Exploration and Innovation Program of the Graduate Students of Central South University)

唐進元，教授，博士生導師，從事齒輪傳動與智能制造研究；E-mail：jytangcsu@163.com

(編輯 陳燦華)