幫助學生積累數學基本活動經驗的五個“著眼點”

許錦艷

摘 要：數學基本活動經驗是學生親身經歷數學活動過程的個人感受、體會和領悟的綜合，它不能通過同伴傳遞或集體訓練獲得。教師要立足于學生終身發展的需要，在教學中通過觀察、操作、探究、思考、運用等有意義的數學活動，幫助學生積累數學基本活動經驗，從而完成由簡單的傳授知識和訓練技能到幫助學生形成自身智慧的轉變。

關鍵詞：數學基本活動經驗 積累 策略

《義務教育數學課程標準（2011版）》的課程目標中明確提出“四基”要求，即使學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。[1]數學活動經驗與數學思想方法因此走入了更多的數學教育者的視線，它與之前的“兩基”——基本知識和基本技能并重，成為了數學教育教學追求的目標之一。然而，數學基本活動經驗又不同于基本知識技能，知識可以被傳遞，技能可以被練習，數學基本活動經驗不能被傳遞，不能被練習，它是學習者個人的親身經歷和感悟的累積；數學基本活動經驗也不同于數學能力，能力可以被訓練、被細化，數學基本活動經驗則更為綜合，沒有直接載體可以檢測經驗強弱或有無。可見，數學基本活動經驗是不能通過傳遞或訓練而獲得的，它是學生親身經歷數學活動過程的個人感受、體會和領悟的綜合。學生只有經歷觀察、操作、探究、思考、運用等有意義的數學活動過程，才能有效地積累數學基本活動經驗。本文結合實際教學中的案例，就如何有效幫助學生積累數學基本活動經驗談談幾點思考和做法。

一、在觀察中，積累學生的數學基本活動經驗

歐拉（L.Euler）指出：“今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察所發現的……只有觀察才使我們知道這些性質。”波利亞（G.Polya）也提到：“一個名副其實的科學家應致力于從已知的經驗中引出最正確的信念來，并為了建立關于某個問題的正確信念而積累最正確的經驗。科學家處理經驗的方法，通常稱作歸納法……歸納法常常從觀察開始，一個生物學家會觀察鳥類的生活，一個晶體學家會觀察晶體的形狀，一個對數論感興趣的數學家會觀察整數1 2 3 4 5……的性質。”[2]觀察是數學基本活動經驗獲得的初始階段。人的認知過程是經歷從感性上升到理性、從具體到抽象的過程，觀察是認知的第一步。

日本數學家小平邦彥說，理解數學就要觀察數學現象。數學中的觀察不僅僅限于直接觀察，還應包括對頭腦中已有的認知進行重組、再加工的過程。因此，數學的觀察有兩個維度：一是“異中求同”，即觀察到事物的共性、特性，觀察共性是為了發現事物的本質，進行歸類，觀察特性是為了區分事物，進行分類；二是“同中求異”，即觀察到事物間的關系。在教學中，教師要幫助學生積累數學觀察的經驗，除了要引導學生學會觀察事物的共性與特性，還要引導學生學會觀察事物間的關系，比如數與數間的關系、圖形與圖形間的關系。這是學生積累數學基本活動經驗的第一步，這種經驗的獲得是實現數學思考的前提。

以人教版三上《平行四邊形和梯形》為例，教材意圖學生在學習平行與垂直的基礎上，通過觀察、比較，抽象概括出圖形各自定義的目的。基于這樣的認識，這節課設計了4次觀察活動：第一次觀察，“平行四邊形和梯形最大的區別是什么？”學生在最直觀的觀察活動中揭示了平行四邊形和梯形特征的關鍵；第二次觀察，“哪些四邊形是軸對稱圖形，怎樣的平行四邊形和梯形是軸對稱圖形？”這里的觀察對學生進一步認識平行四邊形和梯形的特征起到螺旋助推的作用；第三次觀察，“分別用4根4厘米的小棒和2根6厘米2根4厘米的小棒，圍成的四邊形的形狀為什么是千姿百態的？”學生多角度的觀察實現了對知識的多角度的把握，深化了對圖形特征的掌握。第四次觀察，“任意的四邊形改變什么條件就能變成梯形？梯形改變什么條件就能成為平行四邊形？平行四邊形又如何轉變為長方形、正方形？”把圖形放在大背景下讓學生觀察，條件的改變使學生看清了圖形與圖形之間的關聯。更有利于學生從整體上把握知識的脈絡，形成知識網絡。在經歷了以上4次由淺入深的觀察過程，學生不僅獲得了有形的和無形的知識，還體驗到了多層次、多角度的觀察經驗和方法，從而享受到了物質和精神上雙豐收的愉悅。

二、在操作中，豐盈學生的數學基本活動經驗

蘇霍姆林斯基曾經說過，“在手和腦之間有著千絲萬縷的聯系，這些聯系起著兩個方面的作用，一個是手幫助腦得到發展，幫助它們更加的明智；另一個是腦幫助手得到發展，使它變成聰明的創造的工具，變成一個鏡子和思維工具。”這種說法主要闡明：動手操作是思維的起點，是智慧的起源。“智慧自動作發端”， 數一數、摸一摸、畫一畫、量一量、剪一剪、拼一拼等操作活動，調動了學生的多種感官參與。學生在操作過程中可以對學習材料獲得最直接的感受和體驗，當這種感覺和體驗累積到一定的水平時，便形成了學生自身獨有的數學活動經驗。這種操作的活動經驗，一般體現的是直接獲取的經驗，它的價值不是問題的解決，而是對學習材料的感性認知，它是構建個人理解不可或缺的重要一環。

以人教版四下《三角形的認識》為例，這節課的重點是認識三角形的高和掌握畫高的技能。課本對三角形的高的定義是發生式的定義，“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。”可見，對高的定義的理解一定要通過操作。而學生已具備了平行四邊形的畫高的經驗。基于以上兩點的認識，在教學方式上，把這節課定位為側重技能的操作，又不單純傳授畫高技能，在動態操作中感悟三角形變化，高也隨著變化。于是，創設了這樣的操作活動：①畫一個任意的三角形，畫出它一條邊上的高，學生交流互查，指定學生板演畫高。學生會在實際畫高中遇到對點、對邊的困難。教師在這里特地創設的操作活動及等待，使全班同學都在活動中領悟了畫高的要領。②將學生的作品進行旋轉操作。學生通過操作就認識到了三角形的高與位置無關，抽象出了三角形高的本質，同時認識到三角形有三條高。③畫一組等底、等高的四個三角形的高。學生畫高中進行了動態想象。把直角三角形巧妙地設計在最后一個，學生在操作與想象中就自然地認識了直角三角形直角邊上的高。④三角形頂點的連續動態變化（上下左右），高又是怎樣變化的。使學生認識到三角形高與頂點、底的關系，認識到鈍角三角形的高。⑤通過一條高，想象出三角形、平行四邊形的活動，溝通畫三角形的高與平行四邊形的高以及畫點到直線的垂直線段之間的聯系。以上的這些操作活動，實實在在地把畫高的技能落到實處，還培養了學生的空間想象能力。

三、在探究中，內化數學基本活動經驗

蘇霍姆林斯基還說過：“在人的心靈最深處，通常都有一個根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發現者、探索者和研究者。”[3]一般地，在小學生的精神世界中，這種需要是尤其強烈的。學生在學習數學的過程中，最重要的是親身體驗整個探究過程，這是一個鍛煉思維、增長能力的過程，也是一個知識重現和再生的過程。其中，既有外顯的行為活動，也有內在的思維活動。從學生的學習結果看是獲得了經驗，從過程上看則是一個積極的經驗內化的過程。這就要求教師為學生提供足夠的時間和空間，讓他們充分經歷數學探究過程，體驗數學，感悟數學，以達到內化數學基本活動經驗的目的。

如人教版五年級下冊《軸對稱》的教學，設計了這樣的探究過程：探究（1），“畫龍點睛”的游戲，把獨眼龍的眼睛點上去，并想一想為什么這樣點，從而得出了龍的兩只眼睛應該在水平線上，并且到對稱軸的距離相等這個特點。學生初步感知了軸對稱圖形等距性的特征；探究（2），畫出“松樹”圖案的對稱軸，有什么辦法檢驗所畫的是對稱軸。通過給松樹找對稱軸、對應點，進一步完善、內化了對稱圖形的基本性質；探究（3），選擇一個 “小草”圖案與另一個“小草”圖案成軸對稱，移動“小草”圖案，它的對稱圖形怎么移。促使學生更深層次地理解對稱圖形的基本性質，深化了數學的感悟。

四、在思考中，提升學生的數學基本活動經驗

史中寧教授認為，數學基本活動經驗的內涵是“感悟了歸納推理和演繹推理過程中積淀形成的數學思維模式。”[4]正如數學觀察要能“異中求同”和“同中求異”，數學思考也要“求同”和“求異”，也就是說，需要經歷和體驗“歸納推理”和“演繹推理”的過程。史教授還指出，“就中小學生而言，這種數學思維模式主要表現為從特例入手、嘗試性探索和歸納猜想一般規律或結論。”[4]這種嘗試“猜想、歸納、表達、驗證或證明”的數學思維模式，是小學生的數學基本活動經驗。在思維活動過程中，“學生體驗、感受、體會”的核心是經歷完整數學活動過程后，所感悟到的“猜想——檢驗猜想——修正猜想”的歸納推理過程，以及證明猜想的演繹推理過程，在經歷和感悟中形成一定的數學思維模式，并提升一定的數學基本活動經驗。

以《分數的基本性質》的教學為例。學生的起點是，已經掌握了除法與分數的關系以及商不變的規律。這節課可以采用“遷移猜想——驗證猜想——修正猜想”的方法教學。第一步，遷移猜想。學生根據商不變的性質寫出除法算式，把算式的商改寫成分數的形式，根據分數與除法之間的關系和商不變的性質，猜想分數的基本性質。第二步，驗證猜想，歸納新知。學生先獨立思考驗證1/2=2/4，交流得到畫圖形（或折紙）、畫線段圖、轉化除法計算、商不變的性質等方法；學生再次用以上方法驗證自己所想的兩個分數相等；最后歸納得出了分數的基本性質。第三步，修正猜想，完善規律。看書討論理解為什么“同時乘或除以一個數，0要除外”。教師基于學生的學習起點，利用知識的遷移類推，讓學生經歷歸納推理的過程。這樣的教學，關注了學生的已有經驗，關注了數學的內在聯系，也關注了學生的學習后勁。

五、在運用中，完善學生的數學基本活動經驗。

朱德全教授認為，“知識經驗是問題解決過程中，通過非認知的激活作用以及由此促成的認知內化作用在強化和鞏固后生成的應用意識……認知內化作用通過多次鞏固和強化后便生成應用意識，應用意識的生成便是知識經驗形成的標志。”[5]可見，活動經驗反映的是一種過程性。每一個階段的學習都是基于學生已有的知識和經驗，是對已有知識和經驗的鞏固、強化、深化、完善和發展。只有當學生的經驗經過清晰化、條理化、系統化的提升，才能形成對以后類似情境與活動具有指導作用的數學能力。

例如，六年級下冊《整理與復習》中的《空間與圖形》的例4之后做一做：“怎樣量出一個馬鈴薯的體積？”解決這個問題需要學生運用等積變形轉化的策略。如果學生已經具備了這種應用意識，便能順利作答，反之，則說明尚需引導。教師在給予了學生激活已有經驗的等待時間后，可以對部分學生進行提示：剛才我們回憶了圓柱體、圓錐體的體積學習，在之前學習中用到了什么方法？“一語驚醒夢中人”，尚無頭緒的學生頭腦中的等積變形的轉化策略就被瞬間激活。此時，學生思緒飛揚，不斷涌現出新的設想、新的見解，很快想出利用轉化的策略求出土豆體積的方法。在運用數學活動經驗解決問題的過程中，學生的思維經歷了從模糊到清晰、從混亂到系統的這樣質的飛躍，學生真正成為了一個探索者和發現者。

數學基本活動經驗是數學活動過程和結果的統一，強調學生個體的親身經歷和感悟。數學基本活動經驗的積累是一個循序漸進的過程，它貫穿于學生學習的過去、現在和未來，影響著學生學習的過程和結果。數學基本活動經驗始終是綜合性的，是彌補數學基本知識、基本技能的不足，是教育發展的必然。史寧中教授認為，“所有學過的東西遺忘后留下的是什么？數學基本活動經驗是重要的一部分。”因此，我們要立足于學生終身發展的需要，在教學中通過觀察、操作、探究、思考、運用等有意義的數學活動，幫助學生積累數學基本活動經驗，從而完成由單純的傳授知識和訓練技能到幫助學生形成自身智慧的轉變。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012，8.

[2]郭玉峰，史寧中.數學基本活動經驗：提出、理解與實踐[J].中國教育學刊，2012，4.（42-45）.

[3]田玉萍.試析數學基本活動經驗的內涵及類型[J].吉林廣播電視大學學報，2013，4.（65-66）.

[4]郭玉峰，史寧中.“數學基本活動經驗”研究：內涵與維度劃分[J].教育學報，2012，5.（23-28）.

[5]朱德全.知識經驗獲取的心理機制和反思型教學[J].高等教育研究，2005，5（05）.

[6]張孝天.關注數學基本活動經驗[J].小學教學，2009，3.（76-79）.