向量的應用

趙飛入

摘 要：向量是近代數學中最基本、最重要的概念之一，就來源而言，向量的概念來自對物理學中的力、速度以及加速度這一類矢量的研究。

關鍵詞：向量 三角 立體幾何 解析幾何

由于向量具有大小和方向，而我們的學生對數及其運算較為熟悉，而在學了向量后，思維得以開闊，可使學生增長知識，對數及其運算的認識加深了一步，更重要的是由于向量具有的幾何形式與代數形式的雙重身份，使它成為中學數學的一個交匯點，成為聯系多項內容的媒介。向量的引入將使高中數學中“數形結合”理論得到新的解析，為在高中數學貫徹“數形結合”的教學理念提供一種嶄新的方法。是當今世界中等教育的一種普遍趨勢，是教育順應時代發展的必然結果。為學習三角、復數、幾何等作了準備。

一、向量在三角中的應用

當我們利用單位圓來研究三角函數的幾何意義時，表示三角函數就是平面向量。利用向量的有關知識可以導出部分誘導公式。由于用向量解決問題時常常是以三角形為載體的，這使它在三角里解決有關三角形的問題發揮了重要作用，一個最有力的證據就是教材中所提供的余弦定理的證明：只要在向量三角形得出的關系式的兩邊平方就可利用向量的運算性質得出要證的結論，它比用綜合法提供的證明要簡便得多。

二、向量在代數中的應用

向量作為工具性知識已列入中學教材之中，其應用價值已被廣大師生認可。用向量知識解題，方法新穎、運算簡捷，是啟迪學生思維的有效途徑之一。但向量是以幾何的形式出現的，給人的感覺是在幾何中應用廣泛，其實用向量來解決代數中的一些問題也很方便。根據復數的幾何意義，在復平面上可以用向量來表示復數。這樣復數的加減法，就可以看成是向量的加減，復數的乘除法可以用向量的旋轉和數乘向量得到，學了向量，復數事實上已沒有太多的實質性內容。因而變選學內容也就不難理解了。另外我們在求一元函數的取值范圍時，往往利用重要不等式或一元二次函數的性質，而當函數中含有根式時，問題就要復雜得多，這時巧妙運用“向量數量積小于等于向量的積”這一性質，可得到求解的新方法。在不等式的證明、求解無理函數的最值中運用向量性質1、 若，則，當且僅當時等式成立；性質2、，當且僅當同向平行時右邊等式成立，反向平行時左邊等式成立。就可以較靈活地給出證題方法，求出函數的最值。

三、向量在立體幾何中的應用

在解決幾何中的有關度量、角度、平行、垂直等到問題時用向量解決也很方便。特別是平面向量可以推廣到空間用來解決立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內容中，解決平行、相交、以及計算夾角、距離等問題用傳統的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運算及向量的數量積和向量積以后，一切都歸結為數字式符號運算。這些運算都有法則可循，比傳統的方法要容易得多。如：在立體幾何中求二面角平面角的大小時若用傳統方法進行求解的話，要求同學們有很強的空間想象能力，并且要求同學們能找到或根據三垂線定理作出該二面角的平面角，而這也是最難的地方。若用向量的話，只需建立空間直角坐標系，找到各點的坐標，利用向量的數量積算出平面和的法向量的夾角從而求出二面角的平面角。大大降低了同學們的空間想象，使教學中的難點得到突破。

四、向量在平面解析幾何中的應用

由于向量作為一種有向線段，本身就是有向直線上的一段，且向量的坐標可以用起點、終點的坐標來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關直線的部分保持著一種天然的聯系。平面直角坐標系內兩點間的距離公式，也就是平面內相應的向量的長度公式；分一條線段成定比的分點坐標，可根據相應的兩個向量的坐標直接求得；用直線的方向向量（a ， b ）表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實際是方向量在 a = 1時的特殊情形。另外向量的平移也可用來化簡二次曲線，即通過移動圖形的變換來達到化簡二次曲線的目的，實際上與解析幾何中移軸孌換達到同樣的效果。

總之，平面向量已經滲透到中學數學的許多方面，向量法代替傳統教學方法已成為現代數學發展的必然趨勢。向量法是一種值得學生花費時間、精力去掌握的一種新生方法，學好向量知識有助于理解和掌握與之有關聯的學科。因此新教材中加入向量這一章的教學，為更好地學習其它知識做好必要的準備工作就顯得尤為重要。但傳統教學思想對向量抵觸較大，許多教者認為向量法削弱了學生的空間想象能力，且學生初學向量時接受較為困難，這就要求我們不斷探索，找出最佳的教和學的方法，發揮向量的作用，使向量真正地面為現代數學的基礎。