一種基于三次樣條曲線的目標航跡擬合與插值方法研究

范云鋒　劉博　鄭益凱

摘要：為了解決防空導彈武器系統(tǒng)訓練過程中目標不同步的問題，提出了一種基于三次樣條曲線的目標航跡擬合與插值方法。與以往方法相比，能夠給出目標整個飛行航跡的曲線擬合方程，且擬合與插值精度較高，計算過程簡單。

關鍵詞：三次樣條曲線;擬合;插值;同步訓練

中圖分類號：TP391.9 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2019）03-0128-02

0 引言

為了使防空部隊能夠熟練掌握防空武器系統(tǒng)的使用方法，采用數(shù)字模擬進行高訓練是系統(tǒng)設計的一項基本要求。然而，以往的設計方法常出現(xiàn)目標不同步、顯示界面有差異、不能仿真機動目標等現(xiàn)象，影響了訓練效果。

解決上述問題的一種是在各傳感器上位機預先存儲設計好的目標高頻航跡點，使用時通過讀文件的方式獲得目標信息并對外發(fā)送。

該方法的關鍵是事先設計好需要模擬目標的航跡文件，難點是如何根據(jù)以往的錄取數(shù)據(jù)、情報數(shù)據(jù)，設計出更加真實的航跡，特別是機動航跡。故需要對航跡插值方法進行研究。

1 常用擬合方法性能分析

在工程實踐中，常常會遇到根據(jù)一些離散的采樣數(shù)據(jù)進行曲線擬合的問題，且得到的擬合函數(shù)應該具有光滑性和精確性。

目前常用的曲線擬合方法有拉格朗日擬合法、分段三次埃米爾特擬合法、最小二乘法和三次樣條曲線法[1]。

三次樣條曲線[2，3]線性光滑，具有連續(xù)的二階導數(shù);能夠保證擬合曲線通過所有的采樣點;對曲線的緩變和瞬變部分均具有良好的適應性。

2 三次樣條曲線擬合原理分析

區(qū)間上具有分化n個小區(qū)間Δ：的分段3次式。

選取節(jié)點上的2階導數(shù)值作為參數(shù)，構造函數(shù)滿足下列條件：

（1）在上具有連續(xù)的一階、二階導數(shù);（2）在每個小區(qū)間上，都是3次多項式;（3）表示這個函數(shù)能夠通過所有的采樣點。

那么，對于分段上有：

之間的任意一個點x的兩階導數(shù)為：

（2.3）

對上式進行二次積分，并代入式（2.1）可以得到：

那么，的一階導為：

為了使得采樣點處連續(xù)，即：? ? ? ?（2.6）

將其代入式（2.5），得到：

對上式進行整理，可以表示為：

其中，，，。

當處的一階導數(shù)已知時，代入式（2.5）得：

當處的一階導數(shù)已知時，代入式（2.5）得：

可以將式（2.8）、式（2.9）和式（2.10）寫成如下規(guī)整的矩陣形式：

其中，和的取值分別如下：

由式（2.11）和式（2.4）可得到采樣點之間的三次樣條函數(shù)。

3 三對角方程組的數(shù)值計算方法

利用三次樣條曲線進行擬合與插值的關鍵是求解式（2.11），而它是一個標準的三對角方程組[4，5]。

式（2.11）可以簡化為如下形式：

（3.1）

其未知數(shù)xi[i=0，1，…，（n-1）]可用下式求解：

其中，和定義為：

4 仿真驗證

本文利用理論彈道數(shù)據(jù)對算法進行了檢驗，該彈道數(shù)據(jù)全過程包含了爬升、平飛、俯沖及蛇形機動等常見的飛行方式，能夠對算法進行比較全面的檢驗。隨機抽值后再進行插值計算，并與原數(shù)據(jù)進行了誤差統(tǒng)計。

從圖1可以看出，經(jīng)過擬合插值后得到的目標航跡整體上比較光滑。圖2分別給出了插值結果在東、北、天方向誤差和總誤差，發(fā)現(xiàn)最大誤差均未超過1m，擬合效果較好。仿真過程有超過5000次的插值運算，用時僅0.95s，表明實時性較好。

5 結語

本文所提出的方法具有精度高、計算量小、實時性高等優(yōu)點，具有較好的工程應用的前景。

參考文獻

[1] 徐士良.數(shù)值方法[M].北京：清華大學出版社，2008.

[2] 張玲.基于三次樣條曲線擬合公路平面線形方法研究[D].武漢理工大學，2007.

[3] 李沛.炮口沖擊波場壓力曲面的插值研究[D].國防科技大學碩士學位論文，2003.

[4] 秦方方，易思蓉，楊長根.基于三次樣條曲線的鐵路既有曲線整正方法[J].中國鐵道科學，2010，31（2）：18-22.

[5] 孫同名，許眠，楊育霞.應用三次樣條函數(shù)快速計算插值FFT算法[J].電力自動化設備，2007，27（6）：61-62.

A Method of Target Track Fitting and Interpolation Based on Cubic Spline Curve

FAN Yun-feng，LIU Bo，ZHENG Yi-kai

（Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute， Shanghai? 201109）

Abstract：In order to solve the problem of target synchronization in the process of air defense weapon system training， a method of target track fitting and interpolation based on cubic spline curve is provided for a feasible scheme. Compared with the previous methods， this method can give the curve fitting equation of the whole flight path. The precision of fitting and interpolation is high， the calculation process is simple.

Key words：cubic spline curve;fitting;interpolation;synchronous training