關于數學分析課程教學的探討

王偉芳

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關于數學分析課程教學的探討

王偉芳

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

對數學分析課程教師教學方法和學生學習方法進行了探討，重點給出了學習共同體在數學分析課程中實施方案。

學習共同體；教學方法；學習方法

1 研究現狀及意義

微積分主要是為了解決曲線的切線、曲率、曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等幾何問題而產生的，這就注定了其與數學分析與解析幾何兩門課程的密切聯系。數學分析課程的主要內容分為極限理論、微分學、積分學和級數理論四大部分；解析幾何課程的主要內容是向量代數以及空間線、面等圖形性質。這兩門課程的內容有著緊密的聯系，體現為：（1）數學分析中的許多定義定理都有幾何意義；（2）幾何觀察有助于數學分析問題的解決；（3）數學分析尤其是多元函數積分學部分的學習離不開解析幾何的知識。牢固的解析幾何基礎可以幫助學生準確找出積分區域在坐標系中的位置，從而把多元函數的積分逐步轉化為定積分來求解。多數學校的數學分析課程多元函數積分學部分安排在第3學期，而解析幾何的課程安排在第1學期。

筆者對唐山師范學院數學系大二學生進行了調查，調查顯示：在學習多元函數積分學時，大多數學生解析幾何的知識不足以理解數學分析的內容。如果在數學分析講授過程中穿插幾何知識，一方面受到數學分析課時的限制，另一方面也會沖淡數學分析的主線。如果不補充相關內容，學生在將多元函數積分轉化為定積分時又有困難。

2 數學分析課程教法探討

教學是教與學的有機結合，在教學過程中，教師起主導作用，而學生則處于主體地位。學習主體的主動努力程度往往決定其學習效果。因此，提高學生的參與度是提高教學效果的重要方面。傳統課堂講授中學生參與度相對較低，組建學習小組能使更多同學參與進來。

2.1 學習共同體建設

2.1.1 學習共同體

學習共同體是由學生和教師共同組成的，以完成共同的學習任務為載體，以促進成員全面成長為目的，強調在學習過程中以相互作用式的學習觀作指導，通過人際溝通、交流和分享各種學習資源而相互影響、相互促進的基層學習集體。

數學分析課程多元函數積分學的學習，需要學生具體學習：

（1）曲線/曲面在空間直角坐標系下的圖形與其方程的對應關系；

（2）求空間區域在某坐標面上的投影區域。

2.1.2 數學分析課程中學習共同體的探索與實施

學生總結環節：全班同學以小組為單位總結解析幾何知識，重點討論如何由曲線/曲面的方程得到其在空間直角坐標系下的圖形，以及如何根據圖形的特征得到其方程。

圖1、圖2、圖3及圖4是唐山師范學院數學系2016級數學與應用數學專業部分學生的作業展示。

圖1 學生的作業（1）

圖2 學生的作業（2）

圖3 學生的作業（3）

圖4 學生的作業（4）

教師提問環節：學生完成總結后，進一步提出思考題，由若干曲面圍成的空間體在空間直角坐標系中的圖形，并求其在平面的投影。

學生講解環節：課上組內討論3 min，然后推舉一人上臺講解求投影區域的過程。

教師總結環節：掌握了曲線/曲面方程在空間坐標系中的圖形，再由它們圍成曲面/空間體是容易的。下面重點總結空間區域在坐標面上的投影問題，假設空間區域由兩個曲面

與

圍成。

聯立兩曲面方程得兩曲面的相交曲線C；

過曲線向平面做柱面：從兩曲面方程中消去，得到關于，的方程

即為過曲線向平面做柱面；求曲線在平面的投影曲線：

求投影區域：投影曲線

圍成的區域即為由兩個曲面

與

圍成的空間區域在平面上的投影區域[1]。

通過教師總結環節，學生能深刻理解解題過程，并能從中學會概括總結的方法。整個過程充分調動了每個學生的積極性，又培養了學生的合作意識和團隊精神。通過前期的充分準備，多數學生在解決多元函數積分學問題時能快速勾勒出大致圖像，迅速得出投影區域，再結合多元函數的積分轉化為定積分的方法，就能很好地解決多元函數的積分問題。

學生在中學階段的數學學習基本都有相對固定的模式，而到了大學階段，數學分析的內容多，課時周期長，技巧靈活，理論性強，沒有一定的學習方法，學習難度很大。

2.2 幾何意義法

數學分析中的許多定理都有幾何意義，理解定理的幾何意義有助于掌握定理的內容。如羅爾中值定理的幾何意義是滿足定理條件的曲線有平行于軸的切線[2,p122]；積分第一中值定理的幾何意義是由=，=，=()，（()≥0）以及軸所圍曲邊梯形的面積等于某個長方形的面積[2,p220]等。

2.3 幾何觀察法

一提到幾何觀察法，我們可能首先想到的是在證明拉格朗日中值定理時輔助函數的構造，通過從幾何直觀上分析拉格朗日中值定理的條件和結論，就不難構造出滿足羅爾中值定理條件的函數。事實上，很多結論的得到都依賴于幾何觀察，比如要證黎曼函數()在無理點處連續，對，首先找出使得

的所有有理點1，2，……，x，然后通過在數軸上標注這些有理點，就能很容易地得到的取法。此外，函數極限的保號性等結論都可以借助數軸來理解。

基于以上教學方法，結合幾何學科特點，可適當運用多媒體輔助教學。一方面，可以將抽象的知識具體化，使學生對知識有直觀的印象，優化教學效果；另一方面，能使學生看到圖文并茂、視聽一體的交互式集成信息，激發學習興趣；此外，大大精簡板書畫圖的過程，有效利用課程時間，優化教學設計。

3 數學分析課程學法探討

數學分析作為數學專業學時最多的課程，其基本知識、基本理論和基本方法是學生分析和解決問題的基礎。而準確理解掌握三基，單憑識記往往是不夠的。初學者對知識的理解不會特別深刻，教師在講授課程內容的同時，提示一些記憶的方法，有利于學生對知識的掌握。

3.1 聯想記憶法

數學分析的內容雖多，但很多內容都是類似的。比如數學分析中多次出現收斂的概念，具體包括數列收斂、函數收斂、反常積分收斂、數項級數收斂、函數項級數的收斂與一致收斂、含參量反常積分的收斂。每種收斂的判別都有柯西收斂準則，在教學過程中讓學生觀察收斂的定義和柯西收斂準則的異同，以后根據收斂的定義，學生就能準確寫出相應的柯西準則。

再如數學分析中四次出現阿貝爾和迪利克雷判別法，其中兩個與積分有關，兩個與級數有關。以積分的阿貝爾和迪利克雷判別法為例，定理的結論都是兩個函數乘積的無窮積分收斂（一致收斂），條件一是關于其中一個函數的無窮積分的，條件二是關于另一個函數的，單獨的函數都要求單調（因為要運用積分第二中值定理）。如果把定理的條件結論放在一起記憶，效果更佳。

3.2 思維導圖

數學知識系統的訓練還需要自己進行歸納總結，確保知識點的全面與完整，明確知識點之間的聯系，以便保證知識點的理解和應用。以小組為單位，做章節思維導圖，首先提煉章的主題，形成中心詞，接下來提煉節的主題，形成關鍵詞，然后構建中心詞與關鍵詞、關鍵詞與關鍵詞的聯系，在此基礎上，再補充細節。思維導圖可以使學生明確課程內容的結構、知識點之間的聯系，為分析解決問題提供理論基礎。同時，在這個過程中也能充分發揮學習共同體的作用，促進學生合作學習的可持續發展。

[1] 范秋君.漫談數學分析中的曲線與曲面[M].北京:高等教育出版社,2001:1-113.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

On the Teaching of Mathematical Analysis Course

WANG Wei-fang

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

This paper probes into the teaching methods of teachers and the learning methods of students in the course of mathematical analysis, and puts emphasis on the implementation plan of the learning community in the course of mathematical analysis.

learning community; teaching methods; learning methods

O171

A

1009-9115(2019)03-0107-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.028

唐山師范學院教育教學改革項目（2017001009）

2018-09-03

2019-03-11

王偉芳（1984-），女，河北定州人，碩士，講師，研究方向為小波分析。

（責任編輯、校對：趙光峰）