幾何直觀的內涵、分類與教學要領

王強國

（寶應縣實驗小學，江蘇 揚州 225800）

“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》新增加的三個核心詞之一。事實上，“直觀”是小學數學中最常見的教學手段，因而對于“幾何直觀”，一線的教者往往局限于從“理性到感性”的教學回歸的認知層面，洞悉不到背后的“超越”。盡管提出多年，實踐中，“穿新鞋走老路”的現象比比皆是，有必要對之進行更為深入的剖析與解讀，以落實相關的課程目標。

一、“幾何直觀”的內涵解讀

（一）“幾何直觀”的課標詮釋

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”[1]

這段話可分為三層理解：第一句話指出了“幾何直觀”特殊性的一面——利用圖形，同時將“幾何直觀”的兩種主要表現進行精煉的概括；后兩句話進一步解釋幾何直觀的優勢，或者說它的作用（功能）。這里仍然采用描述性的定義方式，將義務教育三個學段的共性特征加以闡述。其中的兩個地方值得注意：一是第一句話“幾何直觀主要指……”中的“主要”一詞，關于“幾何直觀”的含義，國內的一些專家學者從不同視角發表自己的看法，但迄今為止尚未達成共識，這樣的描述，為理論研究者以及實踐工作者提供了進一步豐富完善“幾何直觀”的認知空間；二是最后一句話“……在整個數學學習中都發揮著重要作用”，表明“幾何直觀”應用范圍很廣，應當成為學生數學學習的基本能力，在所有的數學學習領域中，都要重視學生這方面能力的培養。

（二）“幾何直觀”的引申解讀

數學家希爾伯特（David Hilbert）認為：“在數學中，像在任何科學研究中那樣，有兩種傾向：一種是抽象的傾向，即從所研究的錯綜復雜的材料中提煉出其內在的邏輯關系，并根據這些關系把這些材料做系統的有條理的處理；另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對象，側重于它們之間關系的意義，也可以說領會它們的生動的形象。”[2]數學家克萊因（Morris Kline）指出：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。”[3]徐利治教授認為，在數學中，直觀一詞解釋為借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識。例如，借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知，即可稱之為幾何直觀。[4]

西方哲學家通常認為：“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接地把握對象的全貌和對本質的認識。”心理學家則認為：“直觀是從感覺到的具體對象背后，發現抽象的能力。”[5]

這些論述的共同點在于：直觀、數學直觀、幾何直觀，雖然是一種直觀的感知或者直接的把握，但都不再停留于感性認識的階段，而是高階思維、創新思維的結果，都有思維的參與，可以說是理性認識的升華，是認識的返璞歸真。

二、“幾何直觀”的分類舉隅

關于直觀的分類，康德指出：“一類是經驗直觀，一類是純粹直觀。”[6]這是從哲學角度做出的權威解釋。結合數學的學科教學，國內一些學者從不同角度給出自己的分類方法。

有學者將“幾何直觀”分為四種表現形式：一是實物直觀，指借助與研究對象有著一定關聯的現實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關聯，進行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷；二是簡約符號直觀，是在實物直觀的基礎上，進行一定程度的抽象，所形成的、半符號化的直觀；三是圖形直觀，是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀；四是替代物直觀，一種復合的幾何直觀，既可以依托簡捷的直觀圖形，又可以依托用語言或學科表征物所代表的直觀形式，還可以是實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀的復合物。[7]

有學者依據直觀對于數學的雙重意義（數學抽象的基礎與數學理解的深化），對“幾何直觀”加以區分。將處于感性認識階段的、較低層次的幾何直觀，稱之為“直觀感知”，即觀察認識了直觀載體的外在現象或表面意義；將高層次的幾何直觀，概括為“直觀洞察”，即發現了直觀載體的深層意義或內在本質；將介于“直觀感知”與“直觀洞察”之間的水平，稱之為“直觀理解”。[8]

有學者將“幾何直觀”分為三個層次并概括其相應的表現。第一層次：建立和形成敏捷而準確的幾何直覺——感覺與圖形相隨。表現為：能借助圖形思考問題，形成感知；能根據需要畫出圖形，輔助思考；能結合實際完善圖形，發現思路。第二層次：實施深入而靈活的幾何探索——視覺與思維共行。表現為：能結合圖形特征思考，具備良好的觀察力；能靈活進行合情推理，具備良好的探索力；能因題制宜構造分析，具備一定的創造力。第三層次：成為分析和解決問題的有效工具——抽象與形象互輔。表現為：有效分離基本圖形，突破問題；善于構造幾何模型，變更命題；全面認知圖形，隨機應變。[9]

以上學者的分類，雖然方式與標準不一，但共性也很顯見。首先，都重視學生“幾何直觀”的先天經驗。事實上，即使剛進入小學的學生，也有一定的幾何抽象能力，這種與生俱來的抽象能力，是培養“幾何直觀”的基礎，分類中抽象的程度越來越高，但都以保護學生先天的幾何直觀的潛質為起點。其次，都重視“幾何直觀”的后天形成，關注這種能力提升的漸進性，為一線教師的教學實踐提供參考。

三、“幾何直觀”的教學要領

（一）認知理解的寬泛性

1.對“圖形”的理解

相對于一般意義上的直觀，“幾何直觀”的特殊之處在于：借助幾何圖形（空間形式）。幾何圖形分為立體圖形（柱體、椎體、旋轉體等）和平面圖形（圓形、多邊形、弓形等），這些幾何圖形為培養學生的“幾何直觀”能力提供了豐富的素材。但“幾何直觀”的本質在于借助圖形展開數學思考。因此在小學數學教學中，對于“圖形”的理解不妨更寬泛一些，外延更廣一些。一方面，只要有利于思考和理解，不必囿于規范的幾何圖形，比如用倒推的策略解決問題中，在表征題意的過程中，學生自然想到了箭頭圖，借助箭頭圖，學生把數量的變化過程清晰呈現，從而理解算法與算理，因此不妨將之納入“幾何圖形”的范疇之中；另一方面，圖形既可以是有形的可視的，也可以是無形的想象的。事實上，隨著學生“幾何直觀”能力的提升，完全能夠進入直接利用表象在頭腦中進行思考的境界，典型案例是“珠心算”中的“心算”。教學的關鍵是培養學生的“幾何直觀”的意識，在需要幫助時，能夠想到這種方法，并且成功運用。此外，一些教者過分強調嚴謹與規范的做法，也值得思考，比如草稿上畫長方形一律要求借助直尺，同時要求學生考量各段之間的長度比例。試想教者自己在畫圖的過程中是否都做到了規范？“圖形”更重要的是表達關系，只要能幫助學生直觀分析和解決問題，畫草圖不該一味指責，否則，可能得到規范卻挫傷學生畫圖的積極性，也會影響學生思維的連貫性。

2.對“幾何直觀”的認知

在數學語言中，有不少與“幾何直觀”既有聯系，又有區別的相關術語，如“空間觀念”“數形結合”“幾何推理”“幾何直覺”“直觀幾何”等。許多專家進行了深入細致的分析與解讀。如“幾何直觀”與“數形結合”，有學者指出：“從內涵看，數形結合看重數學兩類研究對象（數量關系與空間形式）之間的聯系，幾何直觀側重數學研究對象的幾何意義；從外延看，數形結合具有兩方面的作用：形使數更直觀，數使形更入微。兩者區別在于：數形結合還具有數形更入微的作用，而幾何直觀則還可以運用于幾何本身。”[10]這樣的區分理解起來并不難，從學術研究的角度也是有價值的，但在實踐中，很難把控。仍以“數形結合”與“幾何直觀”為例，截至目前，還沒有學者能找到不是“數形結合”的“幾何直觀”的例子。正如曹培英老師認為：面對小學課堂的真實情境，真正進入數學教學的實踐，又不得不承認，這些概念之間的差異，實在微不足道，可以忽略不計。只要切實加強空間觀念的培養，重視數形結合就可以了，到了高中，相對于義務教育，數學學習更依賴抽象邏輯思維，再來強調“幾何直觀”，可能更具指導意義。[11]

（二）目標理念“超越”性

1.課程目標的豐盈

在義務教育階段，“數學課程標準（2011年版）”關于“幾何直觀”教學的目標設置層次并不豐富。第一學段的課程目標沒有涉及幾何直觀，第二學段的“數學思考”目標中提出了讓學生“感受幾何直觀的作用”，第三學段的“數學思考”目標中提出了讓學生“經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀”。在小學數學教學中“感受幾何直觀的作用”的目標呈現，顯得有些空洞與虛幻，以至于實踐中，教者一臉茫然。作為課標中的核心詞，體現的是數學教學最應該培養的意識與能力，往往超越知識與技能層面。另一方面，“幾何直觀”并不顯性地和具體的知識點聯系在一起。因而對于剛剛加入數學課程的“幾何直觀”，這樣的目標設置在情理之中。其實，課標只是規范與解放結合的指導性文件，并非剛性的約束。小學階段，我們不妨將“感受幾何直觀的作用”做一體兩面式解讀，即既是目標又是實現目標的途徑。守住這樣的底線，實踐中我們就可以創造更為豐富而有效的課程形態與課程經驗。低年級，可以將“幾何直觀”的習慣養成作為目標，遇到一些復雜的問題情境，知道借助圖形幫助思考，如“同學們站成一排，小紅左邊有3個同學，右邊有4個同學，這一排一共有多少個同學？”教者持之以恒的示范，有助于學生感受幾何直觀的價值，也能引導學生養成“幾何直觀”的解題習慣，實現課程目標；中高年級，可以將“幾何直觀”的策略與技能的學習作為目標，通過有計劃、有系列的問題呈現，鼓勵學生積極利用各種圖形去直觀分析，積累經驗，在幾何直觀的積極嘗試中感受幾何直觀的價值。

2.課程理念的超越

小學生的思維特點以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡。但在小學數學中，許多的概念與方法是抽象的，這就造成了學生學習的困難。縱觀“數學課程標準（2011年版）”，有兩點應對之策：“情境”和“幾何直觀”。當然具體生動的情境中，包含“幾何直觀”中“實物直觀”的成分。小學數學教學中“直觀”是最常見的教學手法，一線教師有著豐富的“幾何直觀”教學經驗，這樣的經驗為學生“幾何直觀”能力的培養提供基礎，面對這樣的課程理念，教者看到回歸的同時，更應該有超越性的認知。一是要看到圖形的直觀性，更要看到圖形的抽象性。從辯證的角度思考，事物之間的關系總是相對的，數學中的抽象與直觀也是如此，一個數學對象的幾何直觀對這個對象本身來說，是種直觀，但對第一次接觸這個直觀方式的學生來說，可能還是一種抽象。借助圖形直觀地把握數學對象，進行數學思考，首先需要把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，這樣就把研究的問題轉化為“圖形的數量或位置關系”的問題，進而進行思考分析，這一系列的轉化顯然不是天然而成的。[12]二是要源于直觀，超越直觀。教學不能僅停留在直觀的層面，需要借助合適的方式，適時適度地抽象。比如“3”的認識，可以出示3個小朋友、3個蘋果、3個圓片等，我們不能讓學生局限于“3”就是表示3個小朋友或者就是3個蘋果。應該引導學生比較得出：物品不同，都是3個。進一步追問：“3還可以表示什么？”從而抽象“3”。

（三）載體路徑的“雙重”性

實際教學中，要落實“感受幾何直觀價值”的課程目標，需要借助于一定的內容載體。依據“幾何直觀”自身的特殊性（借助圖形），以及小學數學教學基礎性的價值定位，載體立足兩條：一是顯性的學習——習得技能；二是隱性的感知——提升意識。

1.顯性的學習

蘇聯著名數學家A.N.柯爾莫戈羅夫說過：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”[13]事實上，一線的教師在教學中，也會有意或無意地將所要講解的問題借助圖形直觀化。現行的各個版本的數學教材，都具有較強的直觀性（內容的呈現方式、色彩的選擇等），在教者的引導與示范下，學生已經具有初步的依托圖形進行表征的心理傾向。因此，“幾何直觀”的課程實施不妨圍繞“畫圖策略與技能”設立明線脈絡，其意義在于，通過有意識的不同階段的系統學習，進一步引導學生掌握一定的圖示技巧。如在低年級可以實施“實物圖——示意圖（直條圖）——線段圖”的過渡遞進；在中年級設立畫圖策略的單元，有意識地引導學生掌握畫示意圖和線段圖的要點及技巧，經歷借助圖進行思考的過程，積累幾何直觀的經驗。[14]

有學者提出，在小學階段要逐步形成構造直觀的系列（如圖1）。[15]從一年級開始，就可以相機引導學生畫圖表示數，畫圖說明計算結果，特別是在解決實際問題時，放手學生“把應用題畫出來”，起初數量小一些，難度低一些，要求少一些，從示意圖出發，逐步引入線段圖等。實踐表明，這樣的安排對于發展學生的幾何直觀，提高學生的問題解決能力都有明顯的功效。

圖1

2.隱性的感知

學生具備了一定的畫圖技能，掌握了一些畫圖方法，是不是就一定能靈活運用？情形并不樂觀！教學中，常常遇到這樣的尷尬：“平時用不著，用時想不到。”可見除了技能的學習，還有意識的提升。如何培養學生自主篩選、自覺運用“幾何直觀”解決問題的意識？隱性的感知，雖然沒有規劃性，但卻是極其重要和有效的路徑之一。實踐中，首先，教者自身應具備良好的“幾何直觀”的課程意識，將平時教學中一些無意的舉措變為有意、創意的行為，從自發走向自覺；其次，小學數學教材中蘊含大量的“幾何直觀”的素材，應該充分挖掘和呈現數學知識中固有的幾何直觀因素，創造貼切的幾何直觀來理解所學的方式，引導學生充分感知“幾何直觀”的價值。教學案例信手拈來，如“平均數意義”體會教材安排直條的移多補少；“乘法分配律”教材借助求組合矩形（同寬的矩形組成一個大矩形）的面積來感悟；“倍數與因數”教材選取“擺小方塊”來體會倍數與因數之間的關系等。但對于小學生而言，我們還需要在更廣的范圍，精選更具代表性、更有震撼力的習題，讓學生在“復雜情境”中深刻感知“幾何直觀”的價值與魅力。比如“分數乘法”的幾何模型，為什么分子和分子相乘，分母和分母相乘？借助“幾何直觀”一目了然（見圖2）。

圖2

（四）實踐操作的過程性

1.“幾何直觀”本體的過程性

從“幾何直觀”的內涵看，它既是學生個體與生俱來或者后天學習所形成的相關技能，表現出結果屬性，也是利用圖形描述問題、思考問題的過程，表現出過程屬性；從目標看，“數學課程標準（2011年版）”定位為“感受幾何直觀的作用”，而“感受”是描述過程性目標的行為動詞；再從學生視角看，如前文中所述，一種“幾何直觀”的新形式對于學生來說，往往是抽象的，如果學生不領會幾何圖形本身的特征，不明晰圖形本身具有的數學模型意義，那么圖形就不具有讓數學思考變得有形可視的直觀作用。而學生的“領會”“明晰”能力的提升需要初次接觸時完整經歷逐步感知過渡到理解的過程，并在后續的學習中不斷強化，圖形才能體現“幫助學生直觀地理解數學”的深遠價值。事實上，“幾何直觀”是一種意識，也是一種能力，更是一種思維方式，無論從哪個維度思考，都不難發現，其培養與提升有一個過程，不可能一蹴而就。教者應該有一定的規劃，將長期目標與短期目標有機整合，培養策略在立足課堂的同時注重課外延展，將數學的學習與生活巧妙鏈接。這種本體的過程性認知，有助于教者提升“幾何直觀”的課程意識，更系統地踐行，也有助于實踐中，以更加平和的心態面對課堂中的得與失，學生學習中的錯與對。

2.“幾何直觀”教學的過程性

從教學的層面看，“幾何直觀”的能力提升中，立足畫圖、析圖等技能技巧的訓練，是行之有效的切入點，但不能用機械講解的方式灌輸給學生，應該讓學生充分經歷自主嘗試、小組合作、分享交流、思維碰撞的過程。首先，要關注“幾何直觀”的形成過程。“幾何直觀”需要依托圖形，圖形的介入應該避免直接的呈現，比如將圖文同時呈現，然后要求學生借助圖形思考問題。這種情形下，可能學生思維的難度降低，正確解答的成功率提升了，但“幾何直觀”的意識淡化了，即在沒有外界提醒的情況下，學生想不到借助“幾何直觀”思考問題。因此，面對具體問題時，要讓學生有思考醞釀、篩選策略的過程，在此基礎上，適當點撥，逐步養成“幾何直觀”的思維方式。其次，要關注學生的思維過程。面對同一個數學問題，不同學生“幾何直觀”的外化形式可能有許多種，比如有學生畫的是面積圖，有學生畫的是線段圖等。同時，具體到某一個學生，圖示的方法又有優劣甚至對錯之分，教學中，要引導學生表述自己的思維過程，如“你是怎么想到的？”“你的圖想表達什么意思？”等。在這個過程中，要特別注意保護、激發學生的直觀稟賦，教者要用直觀而不是“幾何直觀”的視野去品讀和領悟學生的表達，當學生用直觀方式表達交流的愿望不斷得到強化，隨著幾何知識的積累，幾何活動經驗的豐富，“幾何直觀”也會越來越得到自覺運用。

綜上所述，小學數學教學中，“幾何直觀”的培養是一個潛移默化、逐漸滲透的過程，對內涵的深刻認知，對細節的深入關注，有助于我們洞悉“回歸”背后的“超越”，探索更加豐富而有效的教學對策，更加全面地落實課程目標，為學生數學學科素養的提升做出應有的努力！▲