從教材走向應用 用模型探究考題

甘振軍

[摘? ?要]近幾年中考越發注重以教材問題為題源，通過適當的創新、拓展來綜合考查學生的能力 .該類題型既綜合了教材重要的公式、定理，又具有一定的創新性，對學生的思維能力要求較高，教師在教學中要引起重視.

[關鍵詞]教材;模型;考題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）14-0017-02

【問題起源】

“以教材為題源，從課本走向生活”是近幾年中考的命題理念，考題命制越發注重緊扣教材、貼近生活，重視應用 .在八年級數學教材中有這樣一道題：一位將軍向古希臘海倫請教問題，他每天需要從軍營A地出發，到河邊l去飲馬，然后再到河岸同側的B地（如圖1），想知道怎樣選擇飲馬地點才能使整個行走路程最短 .本題就是教材著名的“將軍飲馬”問題 .

【衍生試題】

定義：如圖2所示，點A、B為直線l同一側的兩個點，過點A作直線l的對稱點[A']，然后連接[A'B]，交直線l于點P，連接AP，稱點P為點A和B關于直線l的“等角點” .

運用：在圖3所示的坐標系中，點A的坐標為（2，[3]），點B的坐標為（-2，[-3]） .

（1）在點C [4，32]、D [4，22]、E [4，14]三點中，點_______是點A和B關于直線[x=4]的等角點;

（2）若直線l垂直于坐標的x軸，而點[P（m，n）]是點A和B關于直線l的等角點，已知[m>2]，∠APB = [α]，試證明tan[α2] =[ n2];

（3）如果點P是點A和B關于直線[y=ax+b]（[a≠0]）的等角點，并且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=[60°]時，試求b的取值范圍 .

【試題解答】

第（1）小題：分析點A和B關于直線[m=4]的等角點，首先需要作點A關于直線[x=4]的對稱點[A']，可得[A']（6，[3]），然后求解直線[A'B]的解析式，可得[y=34x-32]，等角點就為直線[A'B]與直線[x=4]的交點，將[x=4]代入解析式，可得[y=32]，則等角點的坐標為[4，32]，應為點C .

第（2）小題：設定點[P（m，n）]為點A和B關于直線l的等角點，求證等式成立，等式的左側是關于[α2]的正切值，因此需要構建∠APB的[12]角，等式的右側中含有n，n為點P的縱坐標值.因此考題實際上就是構建[12] ∠APB的正切值與n的關系 .需要構建直角三角形 .而對于n值的求解，則需要結合上述的等角點的定義，構建相應的求解模型 .因此考題求解應為兩步進行 .第一步，基于等角定義構建[α2]角，求解m;第二步，應用三角函數構建策略求證等式 .

點P是點A和B關于直線[x=m]的等角點，根據定義可知點A和[A']關于直線[x=m]對稱，由對稱性質可知PA=[PA']、∠APG = ∠BPH、∠A = ∠[A'].由幾何知識可知∠APB=∠A+∠[A']，所以∠A=∠[A']= [α2] .

如圖4，過點B作直線[x=m]的垂線，垂足為H，可證△AGP [?]△BHP，由相似性質可得[AGBH=GPHP]，將點坐標代入可解得[mn=23]，則[m=23n] .

在Rt△AGP中，tanA=tan[α2]=[GPAG]=[3-nm-2]=[3-n23n-2]= [n2]，得證.

第（3）小題：分析條件可知點P在以AB為弦，所對圓周角為[60°]，并且圓心在AB下方的圓上 .如果該圓與[y=ax+b]相交，設其另一個交點為點Q，如圖5，根據對稱性可知∠APQ=∠[A']PQ，進一步可證△ABQ為等邊三角形，點Q為一定點 .根據幾何性質可得點A（2，[3]），B（-2，[-3]），由三角形相似性質可得ON =[23]，NQ =3，則點Q的坐標為（3，[-23]）.根據待定系數法可得直線BQ的解析式為[y=-35x-735]，直線AQ的解析式為[y=-33x+73] .則點P的位置介于點A和B之間，只需要分別求點P與點A和B相重合的情形即可 .

當點P與點B相重合，則直線PQ和BQ重合，分析解析式可得[b=-735];當點P與點A相重合，則直線PQ和AQ重合，分析解析式可得[b=73] .

考慮到點P位于AB的下方，則取值范圍為[b<-735]，且[b≠23]，或者[b>73].

【多解探析】

第（2）小題實際上還可以采用如下解題方法 .

方法一：用點的對稱關系.

設直線[A'B]與x軸相交于點M，直線l：[x=m]與x軸相交于點N，連接MN，如圖6所示 .

點A與[A']關于直線l：[x=m]對稱，利用點的對稱性質可得點[A']的坐標為（[2m-2，3]），圖中的∠1與∠[A']的大小相等，均為[α2]，點[A']和B的y軸坐標值相加為0，即[yA'+yB=0]，所以兩點關于點M對稱 .由中點坐標公式可得[xM=m-2]，則MN=2，在Rt△PMN中，tan∠M=tan[α2]=[PNMN]= [n2]，得證 .

方法二：利用直線斜率.

已知點P （m，n）是點A和B關于直線[x=m]的等角點，根據等角點的定義可得點A關于直線[x=m]的對稱點為[A']，利用點對稱的性質可得其坐標（[2m-2，3]），又已知A（2，[3]），B（-2，[-3]），從而可求得直線[A'P]和[A'B]的斜率分別為[kA'P=3-nm-2]，[kA'B=3m] .由于直線[A'P]和[A'B]共線，則[kA'P]=[kA'B]，可解得[3m] = [n2] .同樣在Rt△AGP中構建∠A的正切值，即tanA=tan[α2]=[GPAG=][3-nm-2]=[ n2]，得證.

【教學反思】

本題是以教材“最短路徑”模型衍生的新定義題，從試題的求解過程來看，需要提升學生兩方面的能力：一是解題模型的應用能力;二是問題轉化分析的能力 .

下面提出幾點教學建議 .

1.關注教材基礎，開展知識遷移.上述考題的解題模型是教材中的“將軍飲馬”模型，該模型是求解線段最值問題的常用模型，其解題本質是一致的 .學生如能深刻理解教材內容，則在解題時可以快速地完成思路的構建 .因此在平時的教學中，需要教師重視教材知識的講解，不僅要引導學生掌握基本的公式、定理，還要重視教材典型問題的講解，從中提煉解題模型，指導學生掌握基本模型的解題思路 .在此基礎上開展模型的拓展應用，讓學生完成知識的遷移學習 .

2.加強思維拓展，培養創新精神.近幾年的中考試題雖然注重從教材中衍生問題，但依然遵循“培養學科創新精神”的原則，即以教材知識為出發點，融合創新元素.如上述考題關于“等角點”的新定義 .該類問題有著較高的命題立意，如不對學生加以針對性指導，學生很容易陷入思維誤區 .因此，在教學中，教師要注重知識的重組，鼓勵學生勇于發現問題，探尋問題的解題方法，讓學生在自主探究中獲得思維的拓展 .同時，教師要適時地引導學生進行多解探析，培養學生全面思考問題的意識，激發學生的創新思維，提升學生的綜合素質 .

（責任編輯 黃桂堅）