初中數學相似基本模型解題法

江菊珠

[摘? ?要]相似三角形是中考的熱點內容，常出現在壓軸題中，難度較大 .解題突破口是從復雜的圖形中發現或構造相似的基本模型.

[關鍵詞]相似三角形;基本模型;構造

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）14-0023-03

相似三角形是中考的熱點，它作為工具，應用廣泛，是幾何綜合題中主要的運算和證明手段 .絕大部分與幾何相關的綜合題、壓軸題，往往都可以用相似三角形知識去解決.相似三角形在壓軸題中常與四邊形、方程、函數、圓緊密聯系，難度系數較大 .教師在平時的教學過程中要善于引導學生歸納總結常見的相似基本模型，教會學生用模型解題的方法.

一、常見常考的相似基本模型的歸納

應用相似三角形解決問題的幾何綜合題，題型千變萬化，但萬變不離其宗，即離不開相似的基本結構 .因此，模型的認識、歸納和理解掌握，有助于培養學生直觀的圖感，為較綜合的問題的解決及在復雜圖形中發現或構造相似三角形做好充分的準備.

經典的相似基本模型有以下幾種.

二、模型是顯性的，要善于發現

有些幾何綜合題中，相似的基本模型是顯性的，關鍵是要善于發現，學會從復雜的圖形中把它分離出來.抓住了解題關鍵，可以化繁為簡;套用模型，然后圍繞該模型的結構整合信息，可以化難為易.

[例1]如圖1，在Rt[△ABC]，[∠C=90°]，翻折[∠C]，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）.

（1）若以C， E， F為頂點的三角形與以A， B， C為頂點的三角形相似，當AC = 3，BC = 4時，AD的 長為________;

（2）當點D是AB的中點時，[△CEF與△CBA]相似嗎？請說明理由.

分析：（1）解決問題的關鍵是抓住“A字型”相似的基本模型和軸對稱的性質（對應點的連線被對稱軸垂直平分）.觀察圖形可知，折痕EF是[△ABC]的截線，所截得的[△CEF]與[△ABC]相似，是屬于“A”字型相似.因為可以平行截，也可以斜截，所以要考慮“正A”和“斜A”兩種情況，要注意分類討論.但是不管哪種情況，不變的是點C和點D關于EF對稱，所以EF垂直平分CD，則CD[⊥]EF.解題時需要根據不同情況畫出相應圖形.

①當 [△CEF]∽[△CAB]時，如圖2，因為[∠CEF=∠A]，所以[EF//AB]，又[CD⊥EF]，故[CD⊥AB]，從而用等積法求出CD的長，再由勾股定理即可求出AD的長.

②當[△CEF] ∽[△CBA]時，如圖3，因為[∠CEF=∠B]，又[CD⊥EF]，故[∠CEF+∠ACD=90°]，而[∠A+∠B=90°]，易得[∠A=∠ACD]，因此AD=CD .同理可證得BD=CD，所以[AD=12AB ].

[例2]操作與探究：綜合實踐課，教師把一個足夠大的等腰直角三角尺AMN靠在一個正方形紙片ABCD的一側，使邊AM與AD在同一直線上（如圖4），其中[∠AMN=90°]，AM=MN.教師將三角尺AMN繞點A逆時針旋轉[α] . 若[45°<α<90°]，如圖5，邊AM，AN分別與BC、CD交于點E、F，連接BD，分別交AM、AN于點G，H，連接EF、EH，試證明：[EH⊥AN ].

分析：此題圖形較為復雜，采用逆向思維和熟悉的“8字型”相似的基本模型是解題的關鍵.由題目要證的結論逆向分析，若EH[⊥]AN，而已知[∠EAH=45°]，則[∠AEH]一定等于45°，由題意可知[∠ABG=45°]，所以要證[∠AEH=45°]，只要證[△ABG]與[△HEG]這兩個“8字型”三角形相似，即有對應角[∠ABG=∠AEH]，而要證這兩個三角形相似，已經具備對頂角相等了，所以只要兩夾邊成比例即可，這時從復雜的圖形（圖5）中分離出“雙8字型”（圖6），我們知道在這個模型中，由上下兩三角形相似對應邊成比例，交換內項的位置即可得左右兩個三角形的兩邊成比例，那么分析到此，此題的證明思路就已經明了，解決問題的出發點是證[△BGE] ∽[△AGH].

[例3]如圖7，在矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC邊的三等分點，連接AE、AF、AC.請問圖中是否存在非全等的相似三角形？若存在，請寫出并證明.

分析：此題三角形的個數較多，從中找出相似三角形，對很多學生來說是有難度的，學生常不知如何下手.而題干給的顯性條件是唯一的，只有線段之間的數量關系，即“BC=3AB”是解題的突破口，所以設AB=[x]，則BE=EF=CF=[x]，易得AE=[2x]，并在圖形上標注出來，到這里有一部分學生就不知道如何進一步解答，此時，熟悉“母子型”相似的基本模型及其邊的數量關系（即公共邊是共線邊的比例中項）是解決問題的關鍵.從復雜的圖形中分離出圖8，易發現[AE2=EF·EC]，即[AEEF=ECAE]，又[∠E=∠E]，可得[△AEF] ∽[△CEA] .

啟示：復雜的圖形基本上都可以看成由基本圖形組成的，所以如果能夠熟悉一些基本模型，并對重點典型模型邊的數量關系熟練掌握，加深對相似基本模型的理解，可以培養學生的圖感和全面思考問題的習慣，使學生解題時往往目的明確，縮短思考、解題的時間，事半功倍.

三、 模型是隱性的，要學會構造

在很多幾何壓軸題中，模型結構是殘缺的，需要添加適當的輔助線，構造出完整的幾何模型.而作輔助線是學生最大的難點，熟悉常見的相似基本模型對作輔助線有指引作用，是突破難點的有效方法.

[例4]如圖9，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將[△ADM]沿直線AM對折，得到[△ANM].連接BN，當DM=1時，求[△ABN的面積].

分析：如圖10，學生一般都能過點N作[NE⊥AB]，也知道要求[△ABN]的面積，必須求出高NE的長，但是很多學生到此就不知道如何進行下去.此時的突破口之一是在NE這條線上已經有兩個直角了，常用的方法是構造“三垂直”模型;突破口之二是[∠ANM=90°]，延長MN，可發現NE是從直角引出的高，于是就想到了構造“雙垂直”模型;突破口之三是觀察圖形分析題意，圖中存在“角平分線+平行線”模型，那么就要找等腰，于是就能作出延長MN這條輔助線構造等腰三角形.因此，解決此題就有以下兩種方法.

方法一：如圖10，易證[△MFN] ∽[△NEA]，則[MFNE=FNAE=MNAN].設NE=[x]，則NF=[3-x]，可得[MFx=3-xAE=13]，再根據DF=AE，列出方程，即可求出[x]的值.

方法二：如圖11，由折疊可知[∠AMD=∠AMN]，易證[∠AMD=∠MAB]，所以[∠AMN=∠BAM]，故AP=MP，設AP=[x]，則PN=[x-1]，在[Rt△APN中]，根據勾股定理得[32+（x-1）2=x2]，從而求NE的長就能迎刃而解了.

[例5]如圖12，矩形[ABCD]中，[AB=6]，[AD=8]，P、E分別是線段[AC]、[BC]上的點，且四邊形[PEFD]為矩形.（Ⅰ）若[△PCD]是等腰三角形，求[AP]的長;（Ⅱ）若[AP=2]，求[CF]的長.

分析：（Ⅰ）略;（Ⅱ）很顯然，要求CF的長，需證[△ADP] ∽[△CDF]，而題干中的條件很簡單，兩個矩形有一個公共頂點D，“共點等角”是一個突破口，易得[∠ADP=∠CDF]，那么證三角形相似一般有兩種思路，要么找另一對角相等，要么證這組角的兩夾邊成比例.而[ADCD=43]，因此若能求得[DPDF=43]，那么問題就解決了.而DF=PE，所以把問題轉化為求[DPPE]的值.

方法一：觀察圖形發現這里存在“平行線間夾一個90°角”模型，常做的輔助線是過直角的頂點作平行線的垂線，構造“三垂直模型”，如圖13，由[△DHP]∽[△PGE]，得[DPPE=DHPG=CGPG=tan∠CPG=tan∠CAB=BCAB=43]，問題得以解決.

方法二：仔細觀察圖形，從中分離出四邊形DCEP，這是一個“90°的對角互補”模型，作兩條高，構造出“共點等角”.如圖14，作[PM⊥CD，PN⊥BC ]，易證[△PDM]∽[△PEN]，所以[DPPE=PMPN=PMCM=tan∠ACD=ADCD=43] .

方法三：逆向分析，若能證[∠DAP=∠DCF]，問題也可以得以解決.而[∠DAP=∠ECP]，所以把問題轉化為證[∠ECP=∠DCF]，這時發現這里又存在“共點等角”，因為[∠ECD=90°]，因此只要證[∠PCF=90°]即可，如圖15，連接PF、DE、OC，由[OC=12DE=12PF=OP=OF]，可得[∠PCF=90°]，那么接下來的問題就能輕松解決.

啟示：以上這兩題都是中考壓軸題，簡單的條件，不簡單的思維，每一題都可一題多解 .不管哪種解法，都涉及模型思想.尋找突破口，準確作出輔助線，使模型由隱性變顯性是解題的關鍵.常見相似模型的熟悉掌握是迅速作出輔助線的依據.

綜上，模型的重要性不言而喻，模型解題法以不變應萬變 .培養學生應用模型解題的思維方法，能讓學生舉一反三、觸類旁通，使他們解難題更簡潔、更高效.

（責任編輯 黃桂堅）