概率中數(shù)學(xué)期望的變式應(yīng)用

喬碧江

[摘? ?要]通過高中數(shù)學(xué)課本例題的研究，分析、利用等可能事情的概率分布列解決了一類直線上關(guān)于動點到某定點的距離之和的最值問題.研究高中數(shù)學(xué)課本的例題解法及其變式，對開闊學(xué)生視野，提高學(xué)生能力有現(xiàn)實意義.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)期望;高中數(shù)學(xué);例題;變式

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）14-0026-03

人教版高中數(shù)學(xué)第三冊選修2第11頁有道例題：

隨機拋擲一個骰子，求所得點數(shù)[ξ]的數(shù)學(xué)期望.

∴當(dāng)[c=x]時取得最小值.

而數(shù)學(xué)期望[Eξ]就是概率意義下的平均數(shù)，所以利用離散型隨機變量的分布列的數(shù)學(xué)期望可解決上述問題的最值問題.

若把“19”改為“[n]”，則可引申出更為一般的結(jié)論：當(dāng)[n]為奇數(shù)時，會議室應(yīng)設(shè)在[n+12]層;當(dāng)[n]為偶數(shù)時，會議室設(shè)在[n2]或[n2+1]層中的任何一層均滿足題設(shè)要求.

解決這種離散型的問題利用數(shù)學(xué)期望提供了一種十分巧妙而且簡單的方法.如果我們將變式2的實際背景抽象出來，把樓房“擺平”，同時將離散型問題改為連續(xù)型問題，則可得變式3.

變式3：數(shù)軸上有[n]個定點[A1]，[A2]，…， [An]，其中對應(yīng)的坐標(biāo)分別為1，2，…， [n]，[p]為數(shù)軸上動點，坐標(biāo)為[x]，求函數(shù)[f（x）=x-1+x-2+…+x-n]的最小值.

分析：設(shè)題的常用方法是利用數(shù)形結(jié)合法分類討論進行求解.但我們也可這樣思考：動點[p]在[x]軸上運動時，落在哪個位置是隨機的，盡管問題是個連續(xù)型隨機變量，但所求函數(shù)[f（x）]的最值仍可用上述方法求得.

通過課本上一道“小題”的研究，分析、利用等可能事件的概率分布列解決了一類直線上有關(guān)于動點到某些定點的距離之和的最值問題.解法可謂新穎別致，大大豐富了數(shù)學(xué)解題方法的研究.可見“小題”也可“大有作為”.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）