數形結合思想在高中數學解題中的應用

寇旭艷

[摘? ?要]數形結合思想在解題中有著非常重要的作用，不管是平時的考試題還是高考題，很多都與數形結合有關 .有些題如果不用數形結合法來求解，運用常規方法來解要么難度很大，要么就解不出來 .如果解題時能巧妙地結合圖形利用數形結合法，可以取得很好的效果，非常容易得到答案.

[關鍵詞]數形結合思想;高中數學;解題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）14-0030-03

數形結合思想是一種重要的數學思想，在解題中有非常重要的作用 .很多試題都與數形結合密切相關;有些題如果不用數形結合法來求解，運用常規方法根本解不出來 .如果在解題時能巧妙地結合數形結合法，可以取得很好的效果，非常容易得到答案 .

“代數”與“圖形”的結合可以把抽象的代數問題，通過其圖像直觀形象地展示出來 .把“數”與“形”結合起來研究，可以將代數問題幾何化、直觀化和簡單化，從而使問題得到解決 .數形結合在高考解題中也有重要的作用 .高考的時間有限，有些題目運用常規方法來求解，往往計算量較大，運算復雜，花費很長時間 .如果在解題時能巧妙地運用數形結合法，可以非常容易得到答案，起到事半功倍的效果 .

運用數形結合法來解題時，要求學生要審好題，要了解清楚題目的條件和要求，并積極挖掘與之有關的條件，聯系以前學過的相關知識，尋找所給條件與結論之間的關系，找出所給關系式的幾何意義，將代數問題轉化為幾何問題，將數量關系與幾何圖形結合起來解決問題 .要將“代數”與“圖形”結合起來，關鍵是學生要會畫出常見函數（方程）的圖形，并根據所畫的圖形分析代數式所表示的意義 .教師在教學過程中，遇到相應的考點時，要引導學生從代數與幾何的關系方面去分析它們的內在關系，從而尋求解決問題的有效方法 .下面本文通過幾個案例的分析來談談數形結合思想在高中數學解題中的應用 .

一、利用數形結合解決集合的有關問題

1.利用數軸解決集合的運算問題

在集合運算中，可以利用數軸和韋恩圖來進行集合的交、并、補等運算，使問題變得簡單明了 .

算非常方便直觀 .

2.利用韋恩圖解決集合的問題

） .

二、利用數形結合求方程根的個數

很多方程往往以代數的形象呈現在人們面前.如果單單用代數的方法去解決總是不盡如人意，而數形結合的使用往往會收到意想不到的效果 .

利用數形結合求解含有抽象函數、三角函數、指數函數、對數函數和冪函數，可以更加直觀形象地求出結果.如果只用代數解可能比較麻煩，或者根本就解不出來 .

三、利用數形結合求不等式的解集

通過上面的兩種解法可以看出，解法二利用了數形結合法，既直觀又形象地找出了本題的答案，又不容易出錯 .

在以上兩種不同的解題方法中，分別利用了單位圓中的余弦線和余弦圖像解題，根據余弦函數的圖像和性質，能夠更加直觀地得出結果 .以上兩種不同的方法，都是數形結合的解題方法，得出的結果相同，都能夠將習題迅速解出 .

四、利用數形結合求參數的取值范圍

分析：本題若按照常規方法直接利用求根公式求出方程的兩個根，再由“一個根小于0，另一根大于2”建立不等式來求解，就要解兩個含有根號的不等式，特別麻煩.如果根據“三個二次的關系”畫出圖像，結合二次函數的圖像特征來求解，問題就變得很簡單了 .

五、 利用數形結合求函數的值域

1.利用數形結合求分段函數的值域

分析：首先可以去掉絕對值，把上式變為分段函數，然后畫出分段函數的圖像（如圖10），由圖像可以很清楚地看出函數的值域為[-2 ，2] .

2.利用數形結合求分式類型函數的值域

3.利用數形結合求含有根式類型函數的最值

分析：本題若直接用代數法求解根本無從下手.若能聯想到兩點間距離公式，轉化為一個動點到兩定點的距離之和來求解，問題馬上變得既簡單又形象直觀 .

此外，數形結合在解析幾何、立體幾何、統計與概率等都有廣泛的應用，數形結合思想在解題中有非常重要的應用.作為一線教師，在平時的教學中不僅要注重鉆研教材，把教材的本質充分地發掘出來，更要注重對學生滲透數形結合思想，使學生在平時的學習中逐漸養成利用數形結合思想來思考與解決問題的習慣，從而提高學生的思維能力 .教師還應要求學生在做題時，既要會根據題目的條件畫出圖形，又要會利用圖形來理解題目中代數式的幾何意義，從而達到“數”與“形”相統一 .

（責任編輯 黃桂堅）