三角形之四“心”

史忠學

【摘 要】三角形的三邊垂直平分線，角平分線，高，中線的交點分別稱為外心，內心，垂心，重心，初中就學習了三角形這四“心”的內容，在高中階段，這四“心”內容進一步深化，本文只在高中階段平面向量和空間幾何這兩塊知識中系統歸納這四“心”內容，希望對讀者和同學們有幫助。

【關鍵詞】三角形；角平分線；空間幾何

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）04-0110-01

1 三角形之四“心”的概念：

若P是△ABC的外心（外接圓的圓心所以稱為外心） 三條邊的垂直平分線交點

若P是△ABC的內心（內切圓的圓心所以稱為內心） 三條角平分線的

交點

若P是△ABC的重心（分中線從角頂點到中點為二比一，是三等分點） 三條中線的交點

若P是△ABC的垂心 三條高的交點

2 三角形之四“心”的平面向量表示和運算。

（1）若P是△ABC的外心，則因為

，所以，還可以表示為或者。

（2）若P是△ABC的內心，，（其中a、b、c分別是三角形三邊長）。

（3）若P是△ABC的重心，，或者直接用三分點性質表示為，

，。

（4）若P是△ABC的垂心，。

3 三角形之四“心”在空間幾何內容的應用。

（1）如圖一：①當SA=SB=SC時，S在底面ABC的射影P底面△ABC的外心。

②當SA、SB、SC與底面ABC成角相等時，S在底面ABC的射影P底面△ABC的外心。

（2）如圖二：①當頂點S到底邊的距離SD=SE=SF時，S在底面ABC的射影P底面△ABC的內心。

②當三側面與底面ABC成的二面角相等時，S在底面ABC的射影P底面△ABC的內心。

（3）如圖三：在三棱錐S-ABC中AB、BC、AC的中點分別為D、E、F，SE：SA=SF：SB=SD：SC=1：2時，頂點S在底面ABC的射影P為底面△ABC的重心。

（4）①當SA、SB、SC兩兩垂直時，頂點S在底面ABC的射影為底面△ABC的垂心。

②當SABC、SBAC、SCAB時，頂點S在底面ABC的射影為底面△ABC的垂心。

以上從初中階段三角形的四“心”概念出發[1]，在高中階段平面向量和空間幾何內容中，進行了系統的歸納總結，只是沒有進行證明，這內容在高考試題中頻繁出現，所以同學們可以歸納總結記憶，在實際應用中達到熟練應用的程度。

【參考文獻】

[1]陳文翔.三角形的妙用[J].初中生，2003（26）.