圓錐曲線解題技巧之幾何法與代數法

張學均

【摘 要】本文歸納了幾點圓錐曲線填空題、選擇題的解題思路，希望對大家有所啟發。首先學生的基礎知識必須清楚過硬，清楚過硬就是對于知識不是會背，而是通過做題真真地理解它，其次最重要的一點就是借助于平面幾何研究圓錐曲線問題或者代數的角度進行研究。

【關鍵詞】圓錐曲線；解題技巧

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）04-0114-01

圓錐曲線的填空、選擇題歷來是考查的重點難點，學生感到特別困難，往往無從下手，好像知識點都清楚，就是不會做，感到沒什么辦法。其實學生細心觀察就會發現還是有章可尋的，首先圓錐曲線主要考查直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義性質或者與向量、最值等知識的綜合考查，知識點本身不難。下面我們看看幾個

例題。

1 雙曲線離心率

例1 已知雙曲線（）的右焦點為F（2，0），過原點且斜率為的直線與雙曲線交于A（A在第一象限），B兩點，AF的中點為M，BF的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上，則雙曲線的離心率

為（ ）

A B 2 C D 3

解析：此題求離心率的值關鍵是列出a、c或a、b的等式，題目也很簡單，聯立直線與雙曲線解得，

同理可得

又因為，

這樣做其實也不難，但運算較大，一不小心可能會算錯，其實學生遇到這樣的題目首先應考慮幾何法，相對而言運算要簡單得多，且快的多。

法二：連接左焦點F1，顯然AF1BF是矩形

，

又

三角形中用余弦定理得到，，

又因為，

所以=1

所以雙曲線離心率

顯然此法簡單的多，但要求同學們基礎知識要扎實。以后遇到此類題目同學們要首先考慮幾何實在不行，再想一想代數法。

2 橢圓離心率

例2 已知F1，F2是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值

范圍。

解析：設為橢圓上一點，則

所以

解得：

同樣此題運算比較大，一般的學生做起來比較困難，但只要抓住性質結合圖形，角在頂點處最大，則

這樣很快就能得出答案，所以學生在做題時一定要抓住圓錐曲線得幾何特征。總之，圓錐曲線選擇填空題首先考慮幾何法，其次再想一想代數法，也不要追求某一法。特別是全國卷往往考法都不確定，希望學生平時能夠靈活運用。