從除以2看如何有效提高幾何計算教學效果—以《三角形的面積計算》教學為例

姜文敏

（江蘇省南京市生態科技島小學，江蘇南京 210019）

引 言

《數學新課程標準》提出了四項基本技能：基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。其對于幾何圖形的學習目標為經歷圖形的抽象、分類、性質探究、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能[1]。由此可以看出，在幾何圖形的計算教學中，教師一定要讓學生形成自己的學習經驗，使其通過自主探究活動獲得真知，從而提升教學效果。

一、引導大膽猜想，獲得初始的感性認識

任何偉大的定理都是從猜想開始的。由于新知識學生沒有接觸過，但不代表學生一無所知。這時，讓學生根據自己的已有知識，結合自己的理解進行大膽的猜想，是學生邁向知識殿堂的第一步。

教學片段一：

師：平行四邊形的面積怎樣計算？

生：平行四邊形的面積=底×高。

師：那么，等底等高三角形的面積如何計算呢？大家大膽猜測一下。

生：底×高。

師：大家比一比三角形的面積和平行四邊形面積的大小，三角形的面積能和平行四邊形一樣進行計算嗎？

生：底×高÷2。

師：底乘高算的是什么？為什么剛好要÷2？這正是這節課需要大家通過自己的實踐去探索的問題。

學生通過大膽的猜測，從感性上和真知拉近了距離，同時也為后面的實踐操作指明了方向。

二、經歷操作過程，形成完整的學習經驗

著名數學教育家弗萊登塔爾認為，應將數學作為一種活動來進行解釋和分析，建立在這一基礎上的教學方法，稱為再創造方法。教師要讓學生經歷三角形面積的推導過程，還原面積推導的原始操作，這樣的過程也就是弗萊登塔爾認為的再創造過程。

教學片段二：

師：大家都會計算平行四邊形的面積了吧？雖然三角形的面積我們還不會算，但我們每人手里都有8個三角形，你能把它們變換成我們會計算面積的圖形嗎？分小組嘗試一下。（在8個三角形中，有3對是完全一樣的三角形，分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。還有2個是干擾圖形，和上面三組的三角形有點像，但又不完全一樣。這樣設計的目的是讓學生明白，只有完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形。）

學生開始動手拼平行四邊形，基本上都能用完全一樣的兩個三角形拼出一個平行四邊形。個別小組把干擾的平行四邊形通過剪的方式拼成了平行四邊形。學生通過自己的動手實踐操作，用兩個完全一樣的三角形拼出了平行四邊形，這樣獲得的感性認識特別深刻。同時，干擾圖形的出現也讓學生加深了對“兩個完全一樣的三角形”這樣的前提條件的認識。

三、分析歸納推理，探索面積計算真諦

生：底和高。

美國教育家布魯納指出，數學某些領域的知識，不是讓學生去銘記已有的結果，而是要教其如何參與知識的獲取過程。通過上面的案例可以看出，三角形面積計算的方法是學生通過自己主動參與學習，在教師的引導下一步一步獲得的。這樣的學習成果學生理解得透徹，掌握得扎實，在以后的學習中也能熟練運用，做到不犯或少犯錯誤。

四、由具象到抽象，幾何計算心中有圖

學生學習幾何知識的過程，就是要充分經歷探索、觀察、操作以及思考、分析、推理的過程，取得豐富的感性經驗，然后從實踐材料中得出需要的知識。

教學片段三：

師：請在表1中把三角形和組成的平行四邊形的條件都填寫進去。

表1 三角形拼成的平行四邊形

學生動手填寫，前三個是由兩個三角形拼成的，很好填寫。最后兩個是由一個三角形拼成的平行四邊形。（因為課堂時間的關系，最后兩個由獨立三角形拼成的平行四邊形，本節課暫不處理，不要求人人都能填寫出來。）

師：你是怎樣填寫的？為什么三角形的高是5厘米，平行四邊形的高也是5厘米。平行四邊形的底是6厘米，三角形的底也是6厘米。（突出是兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形。）

師：三角形的面積為什么是平行四邊形面積的一半呢？對于這個問題，教師可以多追問幾個同學，直到學生能順利答出：“兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，每個三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半”為止。

師：小組討論，比較三角形和平行四邊形，你發現了什么？

生：三角形的底相當于平行四邊形的底，三角形的高相當于平行四邊形的高，三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師：由此，我們可以怎樣計算三角形的面積呢？

生：三角形的面積=底×高÷2。

師：底乘高計算的是什么？為什么要÷2？（多問幾個學生。）

生：“底×高”算的是兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，“÷2”是因為兩個完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形，每個三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半，所以要÷2。（這里的推理要考慮到學生的實際情況，教師可以通過設問的方式引導學生進行推理。對于三角形的面積計算公式，教師一定要進行反復追問，使學生明確底×高求的是什么，為什么要÷2，這對學生理解和掌握三角形的面積計算方法很重要。）

師：計算三角形的面積只要知道什么條件即可？

學生空間觀念的形成正如范希爾夫婦所提出的，以描述為主。同時，也正向著理論的層面過渡。學生依據經驗能夠確立圖形的性質并使用這些性質來解決問題，同時也可以初步利用演繹推理證明幾何關系。

通過仔細研究學生在計算三角形面積時忘記÷2的情況，為了避免此類問題的發生，筆者認為要做到以下兩點：

第一，心中有圖。學生在看到題目時，腦海中就會浮現出三角形的形象。這正如武俠小說里所說的劍客的三個層次。第一層次：手中有劍，心中有劍；第二層次：手中無劍，心中有劍；第三層次：手中無劍，心中無劍。真正的高手正是能做到手中無圖，心中無圖。

第二，逆向練習，加深認識。如“已知三角形的面積是20平方厘米，底是5厘米，高是多少厘米？”通過這種題目的練習，特別是學生在列出算式20×2÷5時，教師一定要反復追問學生：“20×2求的是什么？為什么要先×2？”

五、變化形象萬千，推演圖形計算的真知

我們在出示三角形時，一般都是標準的銳角三角形。在練習中，多數出現的也是這類看起來比較舒服的三角形。這樣長時間的潛移默化，會讓學生形成三角形就是這樣的感性認識，不利于學生對三角形計算方法的全面掌握?！邦}有千變，貴在有根”，這是我國著名數學家陳景潤先生在談起數學解題時對其學生說過的一句名言。因此，教師在進行三角形面積的計算時，就應該以三角形的面積計算為根，推演出多種變式類型，讓學生在復雜的選項中選出正確的解題方法[2]。

結 語

三角形的面積推導過程實際上是在學生進行操作以后，根據自己得到的數據進行觀察、比較、分析、推理的過程。其中，教師是參與者、引路人，千萬不能成為知識的灌輸者。因此，教師應積極設計教學情境，利用合理的問題引導學生逐步形成對知識的深刻認識。