高中數學思想方法及其在教學中的滲透

劉振國

[摘要]現階段很多高中學生學不明白高中數學，大部分學生能看明白教材中的內容，對于教師講解的知識也基本都能聽明白，但是一進入考場解題時就會出現很多問題，其中最主要的原因就是缺乏必要的數學思想方法，導致學生在考場沒有解題思路，因此，要求學生靈活掌握數學思想方法是必要的。高中數學思想方法是分析、處理和解決問題的策略，是高中數學知識體系的精髓與靈魂，同時也是對高中數學知識最高層次的概括與提煉。在高中數學教學中對思想方法的教學滲透意義重大。

[關鍵詞]高中數學;思想方法;教學;滲透

高中數學教學的重要任務是讓學生能夠準確理解數學知識，并且能夠將所學的知識靈活應用，這就需要高中數學教師在日常教學中要注重數學思想方法的滲透。

一、高中數學七大基本思想方法

1.函數與方程思想

第一，函數思想是用變化的觀點解決實際問題中的數量關系，根據具體問題建立相應的函數關系式，再結合相關的函數知識解決問題的思想。在研究方程、不等式、數列和解析幾何等內容時，把函數思想應用于其中。第二，方程思想是分析高中數學問題中變量間的相等關系，解決相關計算問題的基本思想，高考將函數與方程思想作為重點來考查。

2.數形結合思想

數學研究的對象就是數與形兩個方面，數形結合的數學思想方法就是根據數與形之間的相互關系，在處理數學問題時運用數與形之間的彼此互換來解決問題的思想方法。在初中學習的一維空間中，將實數與數軸上的點建立了一一對應關系;而在學習二維空間中，又將這種一一對應的關系創立在實數對（x，y）與坐標平面上的點;在高中階段學習了三維空間，又將數對（x，y，z）與空間中的點建立了一一對應的關系。在高考數形結合思想方法應用中，對數到形的轉化的考察主要體現在選擇、填空題上，而對學生推理論證是否嚴密的考察則是在解答題中體現的，并且突出形到數的轉化考察。

3.分類與整合思想

分類與整合的思想方法是解決高中數學問題的基本邏輯方法，對如何選擇適合的分類標準，要根據題目而定。分類與整合思想的本質屬性是先分再合，當教師側重檢查學生數學思維是否嚴謹與周密時，就可把分類與整合思想的研究運用在含字母參數的數學題目上。

4.化歸與轉化思想

化歸與轉化思想要求學生在處理數學問題時要具備化繁為簡和化難為易的能力。一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化等這些數學思想常用方法在高考中都是檢驗學生數學素養的重要內容。

5.特殊與一般思想

在處理數學問題時，首先應著手特殊問題，由表及里，層層深入。從問題的表面現象揭示其本質規律，并以此由特殊推廣到一般，在解決特殊問題的實踐中總結、形成解決一般問題的理論，解決其他特殊問題時可以加以指導。在近幾年的高考中，對學生特殊與一般思想加大了考查力度。

6.有限與無限的思想

將對無限的研究轉化為對有限的研究，是解決無限問題的必由之路。當積累了解決無限問題的經驗后，可以將有限的問題轉化成無限來解決。在高中階段立體幾何中，對球的表面積公式和體積公式的推導過程正是運用了這一思想：先對球進行有限次分割，然后再求和，求極限。

7.或然與必然的思想

隨機事件的產生是隨機的，而事件產生的頻率是不變的，這要求學生能夠在偶然事件中尋找到必然規律，再用必然規律去解決出現的偶然事件。高中階段的等可能性事件的概率、互斥事件發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、對立重復試驗、隨機事件的分布列、數學期望等都是高考的重點考查內容。

二、高中數學思想方法在教學中的滲透

教師想要提高學生的思維能力和解決問題的能力，在數學教學中就要滲透數學思想方法。教師可以在課堂教學過程中滲透數學思想方法。在講解數學概念時，可采用數形結合法，讓學生借助圖形的形象直觀性來理解概念，這樣做可加深學生對概念的理解。在數學公式的講解中，也可以運用數學思想方法。在解題過程中滲透數學思想方法教學，能提高學生的解題能力，運用數學思想方法分析和解決問題可以優化解題策略，提高學生解題速度。

1.函數與方程的思想方法

方程的思想是通過解析式將變量間的關系表示出來，函數與方程之間有著必然的聯系，如方程f（x）=0的解就是函數y= f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標。高中數學知識系統繁雜，而其中的一條主線就是函數與方程思想，函數教學自始至終貫穿高中數學，也是高考必考內容，分為高、中、低三個難度檔次。

例：當x∈[-2，1]時，不等式ax3-x2+4x+3 ≥0恒成立，求實數a的取值范圍。

本例題在恒成立的條件下求參數a的取值范圍，教學過程中要注意引導學生將參數a分離出來，這樣此問題就轉化為求函數在給定區間的最值問題，然后運用函數單調性及其相關性質求出最值，此問題也就得以解決。

函數與方程的數學思想是解決高中數學問題的一種很常用的方法，它主要表現在兩個方面： 第一，建立函數關系或者構造出新函數，將所要求的問題轉化為函數的相關性質的問題解決;第二，利用一些基本初等函數的相關性質解決有關解方程、不等式或求參數取值范圍等問題。

2.數形結合的思想方法

數形結合的思想方法是把抽象的字母和符號與直觀的圖形結合，實現數與形間的相互轉化。使用數形結合的思想方法既直觀又形象，還可以使很多較難的問題簡單化。解決高中數學題目時，常常會使用數形結合的思想方法。比如，求函數的最值、解方程等問題。另一方面，數形結合的思想方法也可以運用到高考中，尤其是處理某些抽象的選擇題與填空題，在速度與準確率方面比較有優勢。

本例題常規的解法是去分母，將其轉化為三角函數的形式，然后利用三角函數的有界性求出y的范圍，但是，這種常規方法計算起來很復雜，計算量很大。因此，在教學過程中滲透數形結合思想，將此問題與圖形結合起來，轉化為求A（3，2）和點B（cos x，- sin x）所確定的直線的斜率的最值問題來解決，再結合圖形的直觀性來分析就更簡單了，這樣就將問題簡單化了，既容易理解，又容易計算。

在運用數形結合的方法解題時，圖形要準確，這樣才能讓學生快速準確找到解決問題的方法。當然，問題的最終解決離不開準確的運算。

3.分類討論的思想方法

分類討論的數學思想方法是教師在教學過程中常常用到的一種重要的方法。教師在日常教學中經常會遇到這樣的問題：這些問題并不能進行統一研究，但是局部和整體之間又有著一定的關系。這樣的問題可通過分類討論的方法按照一定的標準進行分類，再對每個局部進行研究，最后綜合各類的結果得到整個問題的答案。分類討論是高中數學思想方法中相當重要的組成部分，在高考中，分類討論這方面的數學問題一直都占據著重要地位。

例：已知函數f（x）=In x+a（1-x），討論f（x）的單調性。

本題是含有字母參數的函數確定其單調性，一般要根據字母的取值范圍進行分類討論，其方法是以函數在定義域內的極值點為分界點，把定義域劃分為若干個區間，在不同區間上確定導數的符號，對極值的確定也要根據字母的取值進行討論。一般地，如果遇到問題的條件就是分類給出的、問題中含有參數變量、幾何問題中位置變化的或以分段形式給出的數學公式等問題時，要進行分類求解。分類討論的原則是分類對象確定，分類標準一致，做到不重不漏，最后還要歸納總結出結論。

以上介紹的幾種數學思想方法是高中數學中常常用到的數學思想方法，如果學生能熟練掌握這些數學思想方法，并能夠靈活運用，一定能提高自己的數學成績，從而使高中數學學習變得更加容易。教師在高中數學教學的任何一個環節都應該注重數學思想方法的滲透，學生掌握好了高中數學思想方法，一定會受益終生。

參考文獻：

[1]高中數學課程標準研制組.普通高中數學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2003.

[2]羅增儒，李文銘.數學教學論[M].西安：陜西師范大學出版社，2003.

（責任編輯 馮 璐）