“數值分析”課程中教學與科研的有效結合

鄧重陽 張智豐 李亞娟

【摘要】根據數學專業本科生與研究生開設“數值分析”這門課程的實際情況，結合筆者的科研實際，從鼓勵學生參與教師科研項目，引導學生申請科研項目，幫助學生利用相關教材知識發表科研論文三個方面，促進教學與科研的有效結合.

【關鍵詞】數值分析;結合科研;教學

【基金項目】杭州電子科技大學2016年研究生核心課程項目（數值分析）;浙江省高等教育課堂教學改革項目（《數值分析》課程混合式教學模式的設計與實踐）;杭州電子科技大學2018年度信息化課程建設項目（計算幾何初步）.

數值分析（Numerical Analysis），又稱數值計算方法，是一門研究并分析眾多數學問題的數值計算方法和理論，進而能夠用計算機程序來實現求解數學問題的課程.它是計算數學的主體部分，涉及數學的各個分支，比如，泛函分析、高等代數、算法設計等內容[1，2]，綜合性非常強.數值分析的應用非常廣泛.計算太空飛船的運動軌跡用到的常微分方程數值解、計算機模擬汽車撞擊時用到的偏微分方程的數值解、股票、基金中計算市值或預測走勢時用到的各種數值分析工具、保險公司精算分析時用到的數值軟件、航空公司計算飛機架次的分配、票價的定義、機上人員的分配等用到的數值分析軟件，都屬于“數值分析”這門課程的內容.

“數值分析”的內容比較煩瑣，有很多復雜的公式，其理論分析對學生的數學理論基礎要求也比較高.這些公式適合計算機編程，但對學生的學習卻造成了很大的麻煩.如何讓學生記憶、理解、掌握這些內容，筆者嘗試從教學與科研的有效結合入手來幫助學生學好“數值分析”.

一、鼓勵學生參與教師科研項目

發揮科研項目的育人功能一直是高校教育教學工作中值得進一步探索的問題.由于“數值分析”應用的廣泛性，幾乎所有國家、省自然科學基金項目都會涉及“數值分析”的內容，所以把“數值分析”課程的內容結合到教師的科研項目之中是一個非常好的突破口.為了強化“數值分析”課的實踐環節，加強學生的科研意識，筆者鼓勵班級學生以“數值分析”課程的內容為基礎參與教師的科研項目.通過引導學生利用教材中的知識點進行深入思考，理論驗證，程序實現以及教師的點對點指導，使學生真正參與到科研項目的研究之中來.例如，筆者的國家自然科學基金面上科研項目“高階連續的插值型細分方法及其局部算子的創建”（批準號：61370166）中在計算2n點插值細分法的新點公式時，需要用到“數值分析”中的經典內容：拉格朗日插值基函數.通過引導學生比較2n+2點插值細分法與2n，2n-2點插值細分法新點計算公式的異同，尋找它們之間的遞推關系，從而構造局部算子來實現任意的2n點插值細分法.

二、引導學生申請科研項目

為進一步鼓勵學生進行科學技術研究和從事發明創造，推動大學生科研能力的提高與科研意識的培養，省、學校和學院每年都會開展大學生科研課題立項申報工作.從參與教師的科研項目著手，調研學生專業背景，研究該方向與數值分析相關的熱點問題及未來的發展方向，積極引導學生申請學院或者學校的學生科研項目，實現相應課題目標.學生可以從中真正了解如何從事科研工作，怎樣從數值分析的基礎知識入手，再進一步深入了解、掌握、計算、模擬、實現，直到最終完成一個科研項目.這個方法可以幫助學生更加清晰地了解“數值分析”這個專業課以及專業課在學生專業里的未來發展前景，為學生之后真正參與科研活動奠定一個良好又扎實的專業基礎.近年來，已指導學生申請到浙江省新苗計劃2項.

三、幫助學生利用相關教材知識發表科研論文

無論是參與科研項目，還是自己申請學生科研項目，很多情況下發表科研論文是需要完成的任務之一.比如，用迭代法解線性方程組是數值分析中很基礎的理論知識，高斯-塞德爾迭代法（Gauss.Seidel，GS）更是迭代法中最經典的算法之一.在計算機輔助幾何設計相關研究工作里，利用迭代法解決問題一直占有舉足輕重的地位，其中，漸進迭代逼近（Progressive Iteration Approximation，PIA）是一種將數據點擬合成為曲線或曲面的技術.

在高斯-塞德爾迭代法的授課過程中，在考查PIA方法與解線性方程組的經典迭代法之間的聯系時，筆者發現，如果每次迭代的時候，能把已經更新的點繼續參與到迭代過程中去，高斯-賽德爾迭代法也可以看作是一種PIA方法.利用該算法的這種特點，即已經更新的點繼續參與到迭代過程中來，以此來優化迭代過程，筆者引導學生把這個算法應用到非均勻三次B樣條曲線的插值上來，開發了GS-PIA算法，該算法同時也具有漸進式迭代逼近方法的優點，比以前PIA方法的存儲量更小，收斂速度也更快，而且具有非常明顯的幾何意義.

最后，引導學生利用教材相關知識給出了嚴格的收斂證明過程，若干結果已經被相關期刊發表或錄用.作為理工科高年級本科或研究生的一門基礎課，“數值分析”能與大量的科研問題及科研項目結合.筆者在這方面做了初步的嘗試，也取得了一些可喜的成效.如何進一步把“數值分析”與科研實踐相結合，充分發揮教學與科研的協同育人功能，是我們要進一步探討的課題.

【參考文獻】

[1]黃云清，舒適，陳艷萍，金繼承，文立平.數值計算方法[M].北京：科學出版社，2009.

[2]李慶揚，王能超，易大義.數值分析（第五版）[M].北京：清華大學出版社，2008.

[3]韓旭里.數值分析[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]劉曉艷，鄧重陽.非均勻三次B樣條曲線插值的GS-PIA算法[J].杭州電子科技大學學報，2015（2）：79-82.

[5]王志好，李亞娟，鄧重陽.GS-PIA算法的收斂性證明[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2018（11）：60-66.