一次函數(shù)圖像中行程問題的新解法

何貽勇

【摘要】本文就2018年重慶中考數(shù)學試題A卷中18題一次函數(shù)圖像行程問題為例，做出了通性通解方法的介紹，提出了教學中應注意的幾點建議.

【關鍵詞】一次函數(shù)圖像;行程問題;線段示意圖

學生解答這一問題時，一是不能明確運動對象的總過程與函數(shù)圖像之間的關系，即讀不懂圖像中的已知點、交點、拐點、變化趨勢等，從而不能清晰地分析出速度、時間、路程的關系;二是超大的信息量，讓學生難以從圖像中調(diào)取有效信息解決問題;三是學生畫本文的線段分解示意圖操作不熟練.

題目 （2018年重慶A卷）A，B兩地相距的路程為240米，甲、乙兩車沿同一線路從A地出發(fā)到B地，分別以一定的速度勻速行駛，甲車先出發(fā)40分鐘后，乙車才出發(fā)，途中乙車發(fā)生故障，修車耗時20分鐘，隨后，乙車車速比發(fā)生故障前減少了10千米/時（仍保持勻速前行），甲、乙兩車同時到達B地.甲、乙兩車同時到達B地，甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車行駛時間x（小時）之間的關系如圖所示，求乙車修好時，甲車據(jù)B地還有千米.

解析 本題是一道“單線”型問題，甲、乙兩車的運動速度有變化，讀懂圖像中的每一個關鍵點，將題干中描述的運動過程與圖像匹配起來非常關鍵，但是由于要記憶和理解的信息量比較多，整個思考過程較為抽象，因此，本題采取畫線段分解示意圖的辦法進行解決.

操作步驟：第一步審題，粗讀問題大“環(huán)境”，用不同的符號標注題干中的已知量、未知量、數(shù)量關系，細讀整個過程的敘述，橫縱坐標軸的實際意義，圖文結合讀取關鍵點（已知點、交點、拐點）的意義，明確每一段折線段所對應的過程及結論的目標待求式，本題的目標待求式為甲的速度與最后一個運動過程的時間的乘積.第二步提取相關的已知數(shù)據(jù)和二級結論，根據(jù)題干信息就可以標注橫軸、縱軸上的部分已知量，能直接提取的數(shù)據(jù)是過程①中甲的速度為：v甲=（30-0）÷23-0=45（千米/時），但不能直接計算出結果.第三步畫線段分解示意圖，若第一、二步的分析過程較為抽象復雜，難以理清關系進行計算，即可根據(jù)初步的審題和判斷嘗試將每一個過程所對應的線段示意圖畫出來，如下圖，圖像中每一折線段標記為一個過程，然后在示意圖上相對應地批注好序號，甲的線段用實線箭頭表示，乙的用虛線箭頭表示，每一個過程的起始位置就是上一個過程的結束位置.第四步計算，過程①、②的數(shù)據(jù)較為集中，即可求出乙的速度，從數(shù)據(jù)較集中的地方突破切入，再根據(jù)每個小過程的數(shù)據(jù)順勢逆推或順推其他信息以求解答，在解答過程中可以將每一步計算操作標注在過程旁邊.第五步檢驗，檢查計算結果是否正確和符合題意.

計算任務操作1：由過程①得，v甲=30-023-0=45（千米/時）

計算任務操作2：由過程②得，v乙-v甲=30-102-23=15（千米/時）

所以，v乙=60千米/時，v乙′=50（千米/時）

計算任務操作3：由全過程得t甲=24045=163（小時）

計算任務操作4：設過程⑥的時間為t時，則由過程④⑤⑥的路程關系得（50-45）t=45163-223-t-60163-223-13-t

解得t=2.

計算任務操作5：由過程⑥得，甲車距B地還有45×2=90（千米）.

綜上所述，線段分解示意圖的方法的優(yōu)勢在于將每一段折線段所表示的一種變化規(guī)律的過程單獨呈現(xiàn)出來便于理解，又能迅速地捕捉其中的小過程之間路程數(shù)量關系（上下平移線段）以及每一個過程內(nèi)的時間永恒相等關系，在解題時既可以從小過程對集中的數(shù)據(jù)進行局部分析，也可以從全過程對零散的數(shù)據(jù)進行整體分析，甚至根據(jù)題意還可增添“子過程”輔助解答問題.如何快速地畫好這個線段示意圖，不僅邏輯思維很重要，解題習慣和建模意識也很重要，比如，根據(jù)線段的上升（下降）趨勢來判斷誰的速度快或誰先到達;每個過程中的批注;將整個過程分成若干個小過程，利用行程問題的基本模型從數(shù)據(jù)較集中的地方切入，利用方程的思想計算出來.因此，對學生從函數(shù)圖像中捕捉信息的能力，綜合運用數(shù)學知識分析、加工、提煉的能力要求較高，建議教師一方面，在平時教學中應當有意識地培養(yǎng)學生逐步形成利用函數(shù)知識認識問題和解決問題的能力，促使他們使用深入而牢固的函數(shù)、方程等數(shù)學思想，另一方面，在引導學生解決較為復雜的一次函數(shù)圖像中的行程問題時，多使用通性通解的辦法，一步一步地操作，熟能生巧，最終內(nèi)化為解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]劉永東，李蕓.2014年中考數(shù)學試題“函數(shù)”分類解析[J].中國數(shù)學教育：初中版，2015（1）：43-56.

[2]陳明儒.教應有“方”學才有“效”——以行程問題為背景的一次函數(shù)圖像信息題為例[J].中國數(shù)學教育：初中版，2014（3）：51-56.