高等數(shù)學(xué)在高考數(shù)學(xué)壓軸題中的應(yīng)用研究

李樹逵

【摘要】近年來，隨著課程的不斷改革，高考數(shù)學(xué)壓軸題的難度也越來越大，尤其是壓軸題的題目也變得非常的復(fù)雜，使學(xué)生在練習(xí)的過程中無法直觀地理解出題者的意圖.本文通過參考相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)高等數(shù)學(xué)在高考中數(shù)學(xué)壓軸題中的應(yīng)用進(jìn)行了分析研究，希望可以對(duì)提高高中生的數(shù)學(xué)成績有所幫助.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);壓軸題;應(yīng)用策略

高等數(shù)學(xué)就是高中生在高考復(fù)習(xí)階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)教師還沒有意識(shí)到高等數(shù)學(xué)在高考數(shù)學(xué)壓軸題中應(yīng)用的重要性，這也是導(dǎo)致高中生數(shù)學(xué)成績無法提高的重壓原因之一.如何提高高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量？本文通過對(duì)一系列題型的分析，對(duì)高等數(shù)學(xué)在高考數(shù)學(xué)壓軸題中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究.

一、導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)壓軸題中的應(yīng)用

在高考?jí)狠S題中，導(dǎo)數(shù)與數(shù)列作為壓軸題在高考試卷中出現(xiàn)的頻率最高.其考查的重點(diǎn)就是看學(xué)生是否掌握了函數(shù)以及遞推數(shù)列相關(guān)的重點(diǎn)知識(shí)以及解題的步驟等.出題者在出題的過程中經(jīng)常會(huì)將函數(shù)、方程式、不等式以及幾何解析、向量等高等數(shù)學(xué)知識(shí)融合起來，不僅使壓軸題目更具有新意，同時(shí)也加大了解題的難度.學(xué)生在解題過程中，一定要掌握好相關(guān)壓軸題的重點(diǎn)知識(shí)，其次是可以對(duì)重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行靈活應(yīng)用，最重要的還是對(duì)數(shù)學(xué)審題的理解，如果在解題前不能理解出題者的意圖，就會(huì)導(dǎo)致在做題當(dāng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤，使解題方法偏離題意.

首先我們先了解一下什么是導(dǎo)數(shù)？導(dǎo)數(shù)就是微積分中的基礎(chǔ)概念.也就是說當(dāng)函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或df（x0）dx.在高等數(shù)學(xué)中，如果數(shù)學(xué)教師可以通過將變量分離的方法幫助學(xué)生確定好解題思路，可以減輕學(xué)生的解題壓力.分離變量的方法有很多種，其中就包括了“多項(xiàng)式函數(shù)或分式函數(shù)”和“三角函數(shù)”.

1.分離變量中的三角函數(shù)：（本文中的試題例子均是參照各類相關(guān)文獻(xiàn)中的例子）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]，設(shè)f（x）≤sinx，求a的取值范圍.這種題型給定的自變量范圍內(nèi)的函數(shù)一般都是沒有最小值的，所以在解題過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過確定函數(shù)的“單調(diào)性”來求a的取值范圍，比如，當(dāng)x=0時(shí)，x≠0時(shí)，變量有沒有最大值和最小值，或者也通過遞增函數(shù)和遞減函數(shù)來推理a的取值范圍，但是在解題過程中也一定要考慮到三角函數(shù)的周期性，以避免解題思路出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2.分離變量后的函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)或分式函數(shù)：設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=β2（cx=d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）通過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線，y=4x+2.（1）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.這類題型，我們可以從三個(gè)方面進(jìn)行分析：當(dāng)x=-1時(shí)，當(dāng)-2≤x<-1時(shí)，當(dāng)x>-1時(shí)，進(jìn)行分量會(huì)得出什么樣的結(jié)論，在通過對(duì)這三種情況的交集的分析，求解出k的取值范圍.所以，對(duì)這類題型，教師也可以通過問題中給定的自變量的范圍，即可以通過自變量的最大值和最小值，求解k的取值范圍，即可以通過求“最值”求解[1].

二、數(shù)列在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用

首先我們可以了解一下什么是數(shù)列？數(shù)列就是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫作數(shù)列的項(xiàng).排在第一位的數(shù)稱之為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)（通常也叫作首項(xiàng)），排列在第二位的數(shù)稱之為這個(gè)數(shù)列的第二項(xiàng)，以此類推，排在第n位的數(shù)為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常會(huì)用an表示（此段參考于百度文庫數(shù)列的定義）.這里以一道數(shù)學(xué)題舉例說明一下：【本題材出自2012年高考上海卷·文（23）】對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)集{an}，記bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk為a1，a2，…，ak中的最大值，并稱數(shù)列{bn}是{an}的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，請(qǐng)寫出所有的{an};（2）設(shè){bn}是{an}的控制數(shù)列，滿足ak+bm-k+1=C（C為常數(shù)，k=1，2，…，m）.求證bk=ak（k=1，2，…，m）.出題者設(shè)計(jì)本題的目的就是為了考查學(xué)生在做題過程中對(duì)問題進(jìn)行思考和判斷的能力，同時(shí)也是為了考查學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的分析和解決能力.比如，在第一問中，就是為了考查學(xué)生的應(yīng)變能力，同時(shí)也是為了加深學(xué)生對(duì)控制數(shù)列概念的理解.但是，在第二個(gè)問題中，其實(shí)就是在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“控制數(shù)列”的概念的理解，比如，因?yàn)閎k=max{a1，a2，…，ak}，bk+1=max{a1，a2，…，ak，ak+1}，所以也就能得出ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak，所以bk=ak.這種提問題方式，也體現(xiàn)了出題者的數(shù)學(xué)邏輯思維，其意圖很了然，就是為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“控制數(shù)列”概念的理解.學(xué)生通過審題，能確定控制數(shù)列{an}的單調(diào)性，從而找到解題的方向.學(xué)生在做題的過程中，只要將數(shù)學(xué)的抽象信息變得具體化一些，再通過認(rèn)真分析，便能歸納出數(shù)列的規(guī)律，從而學(xué)會(huì)控制數(shù)列的解題方法[1].

三、結(jié) 語

總而言之，高等數(shù)學(xué)在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用方式有很多種，其中最常見的就是導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)壓軸題中的應(yīng)用以及數(shù)列在高考?jí)狠S題中的應(yīng)用.所以高考?jí)狠S題中的導(dǎo)數(shù)和數(shù)列是高考復(fù)習(xí)中的知識(shí)重點(diǎn)，我們通過這些解題方法，不僅可以學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的解題方法，同時(shí)通過借鑒高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)，也可以幫助學(xué)生改變其應(yīng)變思維，以提高高中生的數(shù)學(xué)成績.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李紅光.例談洛必達(dá)法則在高考數(shù)學(xué)壓軸題的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（9）：71-73.

[2]張潤平.高等數(shù)學(xué)背景下一類壓軸題的簡(jiǎn)解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（2）：32-33.