基于螺旋理論的蝸桿砂輪磨齒機空間誤差建模及解耦補償

徐 凱 ，陶小會 ，李 彪 ，何 坤

（1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044；2.重慶工商大學制造裝備機構設計與控制重慶市重點實驗室，重慶400067）

0 前言

誤差補償法是提高機床精度的主要方法之一，通過人為地制造一種新誤差去降低當前的誤差，因其低成本、高通用性被廣泛應用于機床制造業[1]。誤差補償以誤差模型為基礎，目前對機床誤差模型的研究主要分為誤差元素建模和機床空間誤差建模。誤差元素建模一般通過檢測、回歸得到機床各項誤差元素值的表達式；空間誤差建模基于運動學建模得到空間誤差與所有誤差元素之間的數學關系以表示機床的綜合誤差。五軸機床旋轉軸的旋轉運動會極大復雜了誤差補償的難度，需要在誤差元素模型的基礎上進行空間誤差建模[2]，并在此基礎上進行補償。基于多體系統理論的機床空間誤差建模方法通用性較強，被國內外學者廣泛采用。陳劍雄、付國強等[3-4]利用多體系統理論與齊次坐標變換建立機床的空間誤差模型，并基于誤差微分運動對空間誤差模型進行解耦補償。楊吉祥等[5-6]以旋量理論為數學工具建立基于全局坐標系的五軸機床通用運動學模型，簡化了建模難度；項四通等[7-9]應用螺旋理論對五軸機床正運動學及逆運動學進行建模，有效地空間誤差進行預測和補償。

綜合來看，五軸加工中心作為典型的五軸機床，針對其空間誤差建模及補償的研究已較為成熟，而蝸桿砂輪磨齒機與常見雙轉臺、雙擺頭五軸加工中心結構存在差異，存在 X、Y、Z、A、B、C 共 6個運動軸。而目前針對蝸桿砂輪磨齒機空間誤差建模主要基于多體系統理論與齊次坐標變換，涉及多個局部坐標系轉換，過程較為復雜。本文基于螺旋理論，對數控蝸桿砂輪磨齒機進行空間誤差建模，并在子問題的基礎上進行運動學逆解，通過具體案例，驗證了方法的正確和有效性。

1 基于螺旋理論的蝸桿砂輪磨齒機運動學模型

1.1 移動副與轉動副的旋量表示

旋量理論是研究空間機構學非常重要的數學工具。剛體在三維空間的運動均可以表示為繞一軸線的旋轉和沿該軸的平移[10]，如圖1，速度旋量是含有速度幅值的旋量，是用以描述剛體關于旋量軸線的運動，如式1。

圖1 旋量軸線及螺旋運動速度場

式（1）中，w為軸線角速度、v為線速度，r為剛體上一點指向軸線的位置向量r=rp-ro，rp、ro分別表示固連在剛體上點P及軸線上點O的位置向量，h為旋量的旋矩，s為軸線向量。則剛體上任意點的速度可以分解為平行于軸線的分量hw及正交于軸線的分量 w ×（rp-ro）。

該運動變換群的李代數形式可用如下形式的矩陣表示：

剛體的轉動和移動可以由旋矩為零及旋矩無窮大的速度旋量來描述，如式（2）：

對于移動軸，即w?=0時，

對于旋轉軸，即w?≠0 時，

螺旋理論在機器人領域應用廣泛，六軸蝸桿砂輪磨齒機與常見工業機器人結構上存在相似點，由轉動副和移動副組合而成，故本文基于螺旋理論對蝸桿砂輪磨齒機運動學及空間誤差建模。

1.2 六軸蝸桿砂輪磨齒機空間誤差建模

蝸桿砂輪磨齒機床機構如圖2所示。機床的主要運動包括三個直線軸（X、Y、Z軸）的直線運動和三個旋轉軸（A、B、C軸）的旋轉運動。其中三個直線軸可確定砂輪的空間位置，A軸用于調整蝸桿砂輪的安裝角，加工過程中A軸保持不動；B軸為蝸桿砂輪刀具的旋轉主軸，C軸為工件旋轉軸，三旋轉軸可確定砂輪于工件的空間相對姿態。

圖2 六軸蝸桿砂輪磨齒機結構

對于旋轉軸：

C 軸：wC=[0 0 1]T，vC=rC× wC，ξC＝ [wCvC]T；

A 軸：wA=[1 0 0]T，vA=rA× wA，ξA＝ [wAvA]T；

B 軸：wB=[0 1 0]T，vB=rB× wB，ξB＝ [wBvB]T；

對于移動軸：

X 軸：vX=[1 0 0]T，ξX=[0 vX]T；

Z 軸：vZ=[1 0 0]T，ξZ=[0 vZ]T；

Y 軸：vY=[1 0 0]T，ξY=[0 vY]T。

由Rodrigues方程，各軸的旋量運動對應的矩陣為：

蝸桿砂輪磨齒機運動連可以分為刀具鏈（O-XZ-A-Y-B）與工件鏈（O-C）兩部分，整合兩運動鏈得到刀具-工件的運動連（C-X-Z-A-Y-B），用以描述刀具相對工件的相對位姿。此時，刀具-工件鏈的運動學正解公式為

P0表示工件相對刀具的初始位姿，在描述刀具和工件的位姿變換關系時，對式（6）簡化，不考慮刀具-工件的初始位姿，有：

根據剛體運動學理論，如表1，六軸蝸桿砂輪磨齒機共計41項幾何誤差元素，包含30項位置相關誤差及11項位置無關誤差（B軸為高精度電主軸，其誤差可忽略）。

表1 六軸蝸桿砂輪磨齒機的41項幾何誤差

以Y軸為例，Y軸的運動存在6項位置有關誤差及2項位置無關誤差，每一個誤差項均可以看作一個由旋量表示運動，相當于在理論無誤差運動的基礎在6個自由度方向上進行了8項運動：

相同軸線上的指數積表達合并，進一步簡化為6個運動方向的指數積分模型如式（9）。

同理可以得到X、Z、A、C軸的各軸誤差的旋量表示，如式10-13。

綜上，在考慮機床誤差元素的情況下，建立從C軸到B軸的變換作為描述機床的空間誤差模型，如式（14）：

2 六軸蝸桿砂輪磨齒機空間誤差模型解耦補償

2.1 Paden-Kahan子問題

在機床的空間誤差模型中，機床各軸的運動量與誤差元素間存在耦合，給機床運動學的逆解造成一定的困難。在串聯機器人的運動學反向求解問題中，經常利用剛體運動的某些特性消去耦合的運動關節量以簡化求解過程。通常可以將整個運動學反解問題分解成多個解為已知的子問題，即Paden-Kahan子問題。本文空間誤差模型的反向求解需要基于兩類典型的子問題。

（1）子問題 1：SubProb-R（ξ，p，q）—繞某個軸的旋轉

已知：單位運動旋量 ξ＝ [w r× w]T，p，q是空間兩點，求滿足條件 eθξ?p=q 的 θ。

圖 3 子問題 1：SubProb-R（ξ，p，q）

圖 4 子問題 2：SubProb-R（ξ1，ξ2，p，q）

（2）子問題 2：SubProb-RR（ξ1，ξ2，p，q）的特例—繞兩個相交軸的旋轉。

2.2 基于典型子問題的六軸蝸桿砂輪磨齒機空間誤差模型逆解

對于本文所示蝸桿砂輪磨齒機，刀具與工件的相對姿態由旋轉軸的運動決定。從機床運動學指數模型中提取旋轉運動，設R表示刀具-工件的相對姿態。

（1）C軸求解

圖5 C軸運動量的求解

設qC為C軸線上一點，有同時定義為在垂直于轉軸 ξC的平面上的投影直接求解得到C軸運動量θC如式（16）。

（2）B軸求解

圖6 B軸運動量θB的求解

如圖 6，qA、qB為 A、B 軸上一點有表示為在垂直于 wB的平面的投影。令如圖 6，對 δ投影，得到 δ′，并且設為 θ0矢量與的之間的夾角，則，最終解得 θB，如式（17）。

（3）A軸求解

（4）平動軸X、Y、Z軸求解

根據求得的旋轉軸的運動量代回到空間誤差模型中，可直接解線性方程求得平動軸運動量。

3 蝸桿砂輪磨齒機空間誤差補償案例

基于文獻[11]誤差元素模型及辨識結果，驗證本文補償方法。以空間誤差綜合模型與理論無誤差模型的數值之差作為誤差評判標準，分別得到姿態誤差與位置誤差，采用本文補償方法，求解補償值帶入模型，得到新的姿態誤差與位置誤差，結果如圖8所示。顯然，采用補償方法后，位置誤差明顯減小，而姿態誤差在補償后減小不明顯，究其原因，一方面由于誤差初值較小，能夠進一步減小的空間較小，另一方面，采用本文方法針對姿態矩陣的求解是近似解析法，存在原理誤差，若要進一步提高精度，需要進行迭代進行多次求解。

圖8 補償前后姿態誤差與位置誤差

4 結束語

多軸機床的空間誤差補償因其各軸運動與誤差間存在耦合關系，造成補償困難，對各軸進行單一的誤差補償效果往往不好。本文以六軸數控蝸桿砂輪磨齒機為例，基于螺旋理論建立建立了蝸桿砂輪磨齒機空間誤差并進行解耦補償。

（1）基于螺旋理論，對蝸桿砂輪磨齒機各移動副與轉動副的運動進行描述。

（2）建立了基于螺旋理論的空間誤差綜合模型，與傳統基于齊次坐標變換方法相比，不需要建立各部件的局部坐標系，簡化了建模難度及工作量。

（3）根據Paden-Kahan子問題對各軸補償量進行分步求解計算，實現了六軸蝸桿砂輪磨齒機空間誤差的有效補償。