發展高中數學抽象素養的教學實踐與思考
——以任意角的三角函數為例

☉福建省廈門集美中學 李國富

2018年4月，筆者參加了廈門市直屬學校第三片區教研活動（同課異構），并做了“任意角的三角函數”的課例展示，此課例本著以發展學生數學抽象這一核心素養為主要目的，在教學設計中層層推進，不斷滲透核心素養，并進行了一些嘗試與思考.

一、發展高中數學抽象素養的教學實踐

1.復習回顧，做好鋪墊

問題1：前面我們通過旋轉的方式把角的概念推廣到了任意角，請大家回憶一下任意角是如何定義的？

問題2：我們學習了象限角，請大家想一想如何判斷

任意角的定義是本章的基礎概念，角的概念通過旋轉的方式得到了推廣，為任意角的三角函數的概念埋下了伏筆，而象限角的復習可以讓學生在直角坐標系下繼續研究與角有關的問題，引導學生意識到：要解決新問題，需要利用新的工具，對舊知識進行重新認識，得到新的定義，為學習任意角的三角函數，發展數學抽象這一核心素養做準備.

2.創設情境，引發思考

教師：上一節我們從“旋轉”的角度定義了任意角，在旋轉的過程中終邊上任意一點都繞著O點運動，物理學上把這一運動稱為“圓周運動”.生活中我們經?？吹竭@種圓周運動，請大家舉出一些例子.

學生：時鐘，汽車輪胎，摩天輪等.

教師：通過這些例子，我們發現它們的運動都是具有周期性的，對于這樣的運動，要用什么函數來刻畫呢？

學生：三角函數（角的函數，任意角的函數等）.

引導學生在運動中觀察到“周而復始”的周期性，進而思考如何從函數的角度進行研究，為滲透數學抽象等核心素養找到有效的載體.

3.以“問題串”的形式，得到概念

問題1：結合初中所學銳角三角函數的定義，如何用銳角終邊上的點的坐標來表示銳角α的三角函數？

如圖1，從銳角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離

圖1

過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長度為x，線段MP的長度為y.

在直角坐標系中，取終邊上一點P構建直角三角形，用點P的坐標表示銳角α的三角函數，從而得到銳角三角函數的概念.從學生比較熟悉的知識出發，抽象出新的定義，可以激發學生的學習興趣，培養學生數學抽象這一核心素養.

問題2：當銳角α不變時，銳角的三角函數值會不會隨著點P位置的改變而改變呢？為什么？

圖2

學生深刻理解并體會銳角的三角函數值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系，學生討論，得到結論.教師在這一教學過程中，不斷引導學生思考，并突破思維障礙，有效提高了學生的數形結合、數學抽象等核心素養.

教師：對于確定的銳角α，三角函數值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.但銳角α改變時，這三個比值還不變嗎？

教師：當銳角α變化時，都有唯一的比值與之相對應，請大家回憶一下這是《必修1》所學過的哪個概念呢？

學生：函數的概念.

教師：既然銳角三角函數的定義符合函數的定義，那么銳角三角函數的定義域、值域呢？

學生：定義域：角組成的集合；值域：比值組成的集合.

這個環節的師生互動，讓學生理解了銳角的三角函數是符合函數的定義，有效地發展和提升了學生的數學抽象核心素養.

問題3：由于三角函數值不會隨著點P的改變而改變，點P可以取在哪個位置，使三角函數的形式更為簡單？于是，三角函數的定義的生成便水到渠成.

圖3

如圖3，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦，記做sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦，記做cosα，即cosα=x；

有了問題2的鋪墊，再結合前面三角函數的定義，自然得出在單位圓下任意三角函數的概念，引導學生得出任意角的三角函數的簡化形式.學生通過構建得到了在單位圓下的任意角的三角函數的概念，以問題為形式，在產生概念的過程中，不斷提高學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養.

問題4：已知角α終邊上的任一點，該如何求它的三角函數值呢？

圖4

如圖4，設角α是一個任意角，P（x，y）是角α終邊上的任

以問題的形式，引發學生思考.通過模型，讓學生進一步掌握任意角的三角函數的定義的要點：點、點的坐標、點到頂點的距離，為這一問題提供了解決辦法.學生對于課本例2的解答方法還是覺得煩瑣了，為此提出這一問題來引起大家的共鳴，讓學生為解決這一問題的迫切性來激發其學習興趣.證明過程可以培養學生觀察、歸納等合情推理的能力，從而提高學生的數學抽象素養.

4.實踐剖析，深化理解

例1如圖5，已知角α的終邊與單位圓的交點，求角α的正弦、余弦和正切值.

圖5

例2求的正弦、余弦和正切值.

課堂練習：根據上述方法能否求得特殊角的三角函數值？

角 α（角度） 0° 90° 180° 270° 360°角α（弧度）sinα cosα tanα

簡單運用，加深對定義的理解.通過例題、練習題的層層推進，從而培養學生分析問題、解決問題的能力，通過具體事例，深刻領會并理解定義，學會這一數學知識，達到提高學生數學抽象核心素養的目的.

例1的目的是進一步強化學生對定義的認識：找出角α的終邊與單位圓的交點，進而根據 定義求出三角函數的值；對于例2，學生就會懂得先求出角α與單位圓的交點；課堂練習中軸線角的三角函數對學生來說是個易錯的問題，同時也是個難點，在例1和例2的基礎上，學生就有了行之有效的解決辦法.

總之，這個環節的內容主要是強化學生對于在單位圓下任意角的三角函數定義的理解，例題難度不斷加大，使得學生真正理解并掌握任意角的三角函數這一抽象定義，提升了學生的數學抽象等核心素養.

二、發展高中數學抽象素養的思考

（1）在創設情境上激發學生的學習興趣，引發學生的深入思考，為發展數學抽象素養做好前期的鋪墊.學生在直角坐標系下，通過構造直角三角形可以有效地解決特殊角的三角函數，而學生現有的知識水平是無法回答除銳角以外的三角函數值，根據最近發展區理論，為學生提供熟悉且有一點點難度的內容，可以在很大程度上調動學生學習的積極性.

（2）在“問題串”的概念教學中，學生自主探究任意角的三角函數，有效地發展學生的數學抽象這一核心素養.通過啟發的方式，讓學生體會數形結合、特殊到一般的思想方法和策略，以一種“潤物細無聲”的方式，培養和發展了數學抽象等核心素養.

（3）例題教學是讓學生進一步理解數學概念的有效途徑，通過例題教學可以有效地培養學生的思維能力，發展學生數學抽象這一數學核心素養.通過精講精練，來突破概念等抽象難點，從而提升數學抽象等核心素養.課堂練習是檢驗學生學習成果的有效手段，可以強化學生對于概念的理解，實現真正意義上的突破抽象難點，進一步提升數學抽象等核心素養.