關注數列交匯題，提升數學探究力

☉江蘇省無錫市第一女子中學 歐 凱

隨著教育改革進入深水區，高考數學試題命制的特點也逐漸側重對學生數學核心素養的考查，注重在知識的交叉點和結合點處尋找命題思路，體現了數學知識之間的縱向和橫向的有機聯系，考題逐漸往“桃李嫁接”的方向發展.下面就等差數列及等比數列與其他知識相融合的一些題型進行分類解析.

一、數列與文化知識的交匯

“數學文化”的觀念貫穿高中數學標準的每一個部分.“數學文化”讓數學課程的教學內容變得豐富而有內涵，數學文化材料中蘊含著理性思維，也蘊含著數學智慧.例如必修5“教育儲蓄的收益與比較”中介紹了數學的應用，“斐波那契數列”則展現了數學世界的豐富多彩與無窮趣味.

例1在我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計.例如，北京天壇圓丘的地面由扇環形的石板鋪成（如圖1所示），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數是______.

圖1

解析：因為最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則每圈的石板數構成一個以9為首項，以9為公差的等差數列，所以an=9n.當n=9時，第9圈共有81塊石板.所以前9圈的石板總數

故答案為405.

點評：數學文化是人類文化的重要組成部分，高中數學必修教材中設置了許多有關“數學文化”的材料，探究這些“數學文化”，可以有效提高人文素養.感悟數學文化中所包含的數學思想、數學方法，可以最大化地實現數學文化應有的教育價值.

二、數列與線性規劃知識的交匯

數列與線性規劃知識的交匯，主要體現在以不等式及線性規劃知識為載體，以可行域為背景，為數列運算提供所需要的數據，解題的關鍵是熟悉線性規劃知識和相關模型的求解方法.

例2若x，y滿足約束條件等差數列{a}滿足a1=x，a5=y，其前n項為Sn，則S5-S2的最大值為______.

解析：因為等差數列{an}滿足a1=x，a5=y，所以d

圖2

如圖2所示，平移目標函數，當過點A時，在y軸的截距最大，此時z最大，

點評：本題主要考查了等差數列的求和公式和線性規劃在求解目標函數的最值問題中的應用，屬于中檔題.解題思路可先根據等差數列的性質和求和公式得到然后畫出約束條件的可行域，求出z的最大值即可.

三、數列與函數的交匯

等差數列與函數的交匯，主要是以函數為載體考查等差數列的計算問題，解決這類問題的關鍵是掌握等差數列以及函數的性質.

例3已知奇函數f（x）是定義在R上的增函數，數列{xn}是一個公差為2的等差數列，滿足f（x7）+f（x8）=0，則x2017的值為______.

解析：設x7=x，則x8=x+2.

因為f（x7）+f（x8）=0，所以f（x）+f（x+2）=0.

結合奇函數關于原點的對稱性可知f（x+1）=0=f（0），即x+1=0，所以x=-1.

設數列{xn}的通項xn=x7+2（n-7）=2n-15，

所以x2017=2×2017-15=4019.

故答案為4019.

點評：本題主要考查數列的性質以及函數的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的合理運用.

四、數列與向量的交匯

向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景.數列與向量的交匯融合主要是借助向量的幾何意義建立起數列中各項的關系來進行求解.求證：{|an|}是等比數列.

點評：本題主要考查了平面向量模的運算及等比數列的知識，熟練掌握等比數列的概念是解決本題的關鍵.向量的坐標是數列，而目標是向量的模，因此可以利用模運算建立起|an|與|an-1|的關系，然后再加以判斷.

五、數列與三角知識的交匯

三角函數是一種基本初等函數，也是進一步學習的基礎，三角函數與其他知識的交匯主要體現在三角函數的運算工具性上，例如借助三角函數的輔助角公式、兩角和與差的運算公式等，將數列的性質和求解融于其中.

例5將函數3π）在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{an}（n∈N*）.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設bn=2nan，數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的表達式.

所以Tn=π［（2n-3）·2n+3］.

點評：數列與三角函數的交匯問題主要是以數列作為一個條件，這類問題在三角形問題中較為常見，解決這類問題主要是運用等差中項或等比中項的知識.涉及的題目類型主要有下面四種：①角A、B、C成等差數列型；②角A、B、C成等比數列型；③三邊a，b，c成等差數列型；④三邊a，b，c成等比數列型.

總之，對數列交匯題的歸類分析與探討，可以貼近新高考的命題趨勢，也能有效地培養學生的邏輯思維能力和推理能力.