對一道解析幾何考題的探究與拓展

☉江蘇省泰興中學 錢繼兵

解析幾何是高中數學的重要內容之一，其知識點覆蓋廣、綜合性強、典型問題多，對學生的數學運算和分析推理能力要求較高，本文將以一道解析幾何問題為例，探究其解析方法，并對其模型和原理進行提煉拓展，與讀者交流學習.

一、考題呈現

題目已知橢圓的解析式為3x2+y2=λ，點A，B是橢圓上的兩個點，而點N（1，3）是線段AB的中點，作線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C，D兩點.

（1）試確定參數λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

（2）試判斷是否存在一定值λ，使得A，B，C，D四點在同在一個圓上？并寫出分析過程.

分析：本題目為直線、圓和橢圓相融合的解析幾何題，考查學生的基礎知識和分析推理能力，從知識領域來看，涉及代數和幾何兩大模塊，是知識綜合類考題的典型代表.在求解分析時需要基于幾何知識來構建相應的模型，并結合幾何性質和代數方程來透視幾何結構，尋求解答問題的思路.

二、思路探究

（1）第一問求解橢圓特征參數λ的取值范圍以及直線AB的方程，對于該問需要從題干中提煉出幾何的特征條件，主要有兩個：一是橢圓與AB所在的直線有A和B兩個交點，二是點N是線段AB的中點.由條件一設出直線AB的方程，與橢圓方程聯立構建方程組，則需要確保Δ＞0，而根據后一個條件則可以利用待定系數法化簡相關參數，構建相應的不等式.

設AB所在的直線方程為y=k（x-1）+3，與橢圓方程聯立可得：（k2+3）x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0 ①，設點A和點B的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），則其中x1和x2就為方程①的兩個不同的根，所以滿足Δ＞0，即4［λ（k2+3）-3（k-3）2］＞0 ②，點N（1，3）為線段AB的中點，則x1+x2=2，同時聯立兩者可解得k=-1，所以直線AB的方程為y=-（x-1）+3，即x+y=4，而將k=-1代入②式，化簡后可得λ＞12，所以λ的取值范圍為（12，+∞）.

（2）第二問探究是否存在一個合適的值λ，使得A，B，C，D四點在同一個圓上，首先需要明確四點共圓需要滿足的條件，然后根據條件構建相應的求解模型.假設A，B，C，D四點可以在同一個圓上，則可能存在值λ，使得以A，C，D為頂點的三角形為特殊三角形，則其中必然存在對應的幾何線段關系，因此只需要分析其合理性即可.

圖1

已知AB的垂直平分線為CD，則根據AB所在直線的方程可以得到CD所在直線的方程，即lCD：x-y=-2，將其與橢圓方程聯立，整理得4x2+4x+4-λ=0 ③，設點C和點D的坐標分別為（x3，y3）和（x4，y4），線段CD的中點為M（x0，y0），則其中x3，x4是③式的兩個根，即x3+x4=-1，而，點M的坐標滿足方程x-y=-2，可解得點M的坐標為于是利用弦長公式可求得|CD|=.同理聯立AB所在的直線方程與橢圓方程，可得 弦 長經 分 析 可 知 當 λ ＞12時 ，，即|AB|＜|CD|.假設λ＞12時，A，B，C，D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.過點M作線段AB的垂線且垂足為點E，連接AM、BM，如圖2，由點到直線的距離公式可得|ME|根據幾何性質可知△MEA為直角三角形，由勾股定理可得|ME|2+|AE|2=|AM|2，即此值恰好與故可知當λ＞12時，A、B、C、D四點共圓.

圖2

三、另解拓展

對于上述幾何與代數知識相結合的解析幾何問題，其解法思路是多樣的，除了可以沿用上述傳統的解法來探究外，也可以變換角度，從其他角度進行剖析，開展考題的多解探析對于考題的結構認識和解題策略的積累是十分有利的，下面對其進行深入探析.

1.關于第一問

上述第（1）問是基于問題構建的條件開展的思路探索，而求解AB所在的直線方程實際上就是求直線的斜率k，可以從直線斜率的定義出發來構建求解模型.對于參數λ的取值范圍，則可以考慮從點在橢圓中的位置關系的角度來分析.

設點A和點B的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），則線段AB的斜率可表示為，點A和點B均位于橢圓上，則必然滿足橢圓方程聯立兩者可變形為3又因為點N（1，3）是AB的中點，所以x1+x2=2，y1+y2=6，代入上式可解得kAB=-1，所以AB所在的直線方程為x+y=4.已知點N（1，3）在橢圓的內部，則λ＞3×12+32=12，所以λ的取值范圍為（12，+∞）.

2.關于第二問

上述考題在求解第（2）問時，基于假設在圓內構建了特殊的三角形，根據勾股定理建立了關于線段長的代數模型，然后確立了四點共圓的合理性.對于該問還可以從向量角度入手，若A、B、C、D四點共圓，考慮到線段CD是AB的垂直平分線，則圓心必然位于線段CD上，從而以點A、C、D為頂點構建的△ACD必然是直角三角形，且角A為直角，于是從向量角度出發有C■→A·D■→A=0，因此只需要結合已知條件對其加以驗證即可.

線段CD所在的直線方程為x-y=-2，線段AB所在的直線方程為x+y=4，分別與橢圓方程聯立可得4x2+4x+4-λ=0，4x2-8x+16-λ=0，由兩式可得經計算可得所以可確定點A位于以CD為直徑的圓上，而點B是點A關于線段CD的對稱點，故也位于圓上.因此存在一定值λ，使得A，B，C，D四點在同一個圓上.

四、反思建議

四點共圓作為解析幾何中較為特殊的問題，其探究思路以及分析方法具有一定的代表性，即對于其中的幾何問題，除了需要充分利用題干中相關曲線的方程外，還需要利用幾何性質構建相應的解析模型，最終通過證明模型中的特殊關系來確定四點共圓的合理性.因此該類問題求解的背后是數形結合思想方法的滲透與應用，在教學中需要指導學生掌握運用數形結合來解題的方法步驟，深刻理解該方法的思想內涵，形成用數形結合解析問題的意識.

開展考題探究學習除了要掌握相應的解題方法外，從考題中提煉相應的解析模型也是其意義所在.如上述考題在探究四點共圓之后，對問題模型和方法原理都進行了提煉，并從中總結出一般四點共圓類問題的定理和推論，并將其拓展應用到變式問題中，實現了同類型問題的高效求解.因此在平時的教學中，教師不應局限于考題的方法講解，要注重對考題原理的提煉與拓展，指導學生提煉出解析模型，并對考題進行深度研究，力求實現“解一題，通一類”的教學目的，從本質上提升學生的解題能力.