淺析一道以物理為背景的數(shù)學建模題*

☉廣東省中山市第一中學 陳國祥

數(shù)學建模是指對現(xiàn)實生活中的實際問題提煉抽象，建立數(shù)學模型，求解數(shù)學模型，驗證合理性，并用該數(shù)學模型得到的結(jié)論來解決現(xiàn)實問題.本文的背景來源于一道初二的物理題目：“飛機在轟炸目標時，要怎樣才能命中目標？”常規(guī)的解答過程是在不考慮空氣阻力的理想狀態(tài)下進行的，其結(jié)果是炸彈作平拋運動，軌跡為拋物線.顯然，在實戰(zhàn)過程中，空氣阻力是不能被隨意忽略的因素.筆者將對本題在更貼近客觀實際的情況下對彈道軌跡進行數(shù)學建模，分析探究空氣阻力對彈道運動軌跡的影響.

首先，在空氣中運動的物體，將受到空氣阻力.在空氣中如果速度低于2.5M（M即馬赫是速度單位，1馬赫即1倍音速，在空氣中大致約為1200km/h，即340米/秒），基本上可以認為空氣阻力f與物體最前方與空氣接觸部分的面積S（在此我們姑且簡稱為阻風面積，以下同）成正比，阻力系數(shù)k≈2.937，同時阻力還與物體運動的速度V成正比，即f=2.937SV.當其在空氣中的速度高于2.5M（馬赫）時，由于空氣的摩擦，開始出現(xiàn)氣動加熱現(xiàn)象，其空氣阻力一般可視為由于飛機在轟炸目標時的速度一般低于2.5M（馬赫），為了簡便起見，我們可以認為空氣對子彈的阻力與子彈的速度成正比，阻力系數(shù)為a（a=2.937S），其方向與子彈的速度方向相反，即f=aV.

其次，設(shè)飛機的飛行高度為H，飛行速度為v0，炸彈的質(zhì)量為m.如圖1建立直角坐標系.設(shè)彈道的軌跡曲線為C，經(jīng)過時間t運動達到點P（x，y），子彈在該點的速度為v.

圖1

以下是我們模擬實戰(zhàn)中的情形，并利用幾何畫板分別畫出在不考慮和考慮空氣阻力的兩種情形下炸彈的軌跡曲線，通過圖象觀察兩條軌跡曲線的關(guān)系，并計算出飛機在這兩種情形下大概要提前多少米開始投彈才能準確地命中目標.

首先，我們來對飛機的各種參數(shù)進行預(yù)設(shè)：

1.飛行高度H：戰(zhàn)斗機的飛行高度一般在8000至12000米之間，因為這個高度基本是在平流層，飛機飛行阻力小，省油.但是，飛機在投彈時為了能夠更準確地命中目標，一般在較低的飛行高度進行投彈.為方便計算，我們不妨設(shè)戰(zhàn)斗機投彈時的飛行高度為H=2000米.

2.飛行速度v0：根據(jù)前面的分析，我們不妨設(shè)飛機在投彈時的飛行速度接近2馬赫，即約v0=600米/秒.

3.重力加速度g：為方便計算，我們?nèi)=10米/秒2.

4.炸彈的質(zhì)量m：不同的轟炸機所攜帶炸彈的質(zhì)量不同，差距也比較大.B-52轟炸機的總起飛重量為221.35噸，可載彈27噸；蘇-30轟炸機最大載彈量：6500千克，共60枚炸彈.抗日戰(zhàn)爭時期日軍92式重轟炸機炸彈正規(guī)為2000kg，最大為5000kg；日軍九六式陸上攻擊機攜帶60kg炸彈12枚或250kg炸彈2枚或500kg或800kg炸彈1枚或800kg魚雷1枚等.因此，炸彈質(zhì)量的范圍較大，絕大多數(shù)炸彈的質(zhì)量m都在100與5000千克之間.

5.炸彈的阻風面積S：由于轟炸機炸彈的型號很多，質(zhì)量大小差距很大，形狀也各式各樣，其阻風面積S也各不相同.通過對各種炸彈的研究分析發(fā)現(xiàn)，炸彈的阻風面積S大概可以在0.3～2m2之間.從而空氣對炸彈的阻力系數(shù)a大約在1～6牛頓秒/米之間.

根據(jù)以上各類參數(shù)預(yù)設(shè)的具體值，我們來研究和計算飛機分別在兩種情形下要提前投彈的水平距離x（假設(shè)在坐標系中飛機的飛行方向為x軸的正方向，且飛機在坐標系的原點開始投彈）.

1.如果不考慮空氣的阻力，可以得到飛機的飛行高度H、飛行速度v0及提前投彈的水平距離x三個變量滿足的函數(shù)關(guān)系式將v0=600米/秒，g=10米/秒2代入上式，可得

2.如果考慮空氣阻力，根據(jù)上述計算，有：

在v0=600米/秒，g=10米/秒2不變的情況下，炸彈的運動軌跡顯然與炸彈的阻風面積及炸彈的質(zhì)量有密切關(guān)系.在此，為了更好地研究空氣阻力對炸彈運動軌跡的影響，我們用以下兩種特殊情形來計算飛機提前投彈的水平距離x的值：

（1）當m=1000千克，a=1牛頓秒/米，v0=600米/秒，g=10米/秒2時，

我們利用幾何畫板在同一坐標系下同時畫出函數(shù)13○與函數(shù)14○的圖像，如圖2所示：

圖2

從圖2可知，當H=-2000米時，兩種情形下飛機需要提前投彈的水平距離x沒有什么差別，x≈12 000米.

（2）當m=100千克，a=3牛頓秒/米，v0=600米/秒，g=10米/秒2時，

我們利用幾何畫板在同一坐標系下同時畫出函數(shù)13○與函數(shù)15○的圖像，如圖3所示：從圖3可知，當H=-2000米時，兩種情形下飛機需要提前投彈的水平距離x有較大差別，兩者相差約為Δx≈12 000-9750=2250米.

圖3

從以上分析可知，對于質(zhì)量較大或阻風面積較小的炸彈，且對轟炸目標的精確度要求不高（如要對一座城市、一個機場、一個軍事基地等）的情況下，空氣的阻力幾乎可以忽略不計；但對于質(zhì)量較小而相對阻風面積較大的炸彈，或?qū)Z炸目標的精確度要求很高（如要對一輛裝甲車、一幢房屋、一座橋梁等）的情況下，空氣的阻力是絕對不能忽視的.