優選轉化策略 何愁分類討論
——對一類含參絕對值問題的探究

☉浙江省寧波李惠利中學 何安旗

在解決某些數學問題時，經常需要對問題涉及的各種情況進行分類研究，綜合求解，也就是用分類討論的思想來解決問題.分類討論是一種重要的數學思想方法，但很多問題若按部就班地展開討論，常會因分類原則不清或分類情況復雜而使解題者陷入頭緒混亂、迷霧重重之困境.既如此，探尋一些簡化乃至避免分類討論的方法，往往可以起到事半功倍的效果，這也對提高學生的解題能力有著重要意義.下面從2017年4月浙江學考卷第25題的解題分析談起，針對一類含參絕對值問題，就如何避免分類討論，談談若干優化策略，與大家交流.

例1已知函數f（x）=3|x-a|+|ax-1|，其中a∈R.

（1）當a=1時，寫出函數f（x）的單調區間；

（2）若函數f（x）為偶函數，求實數a的值；

（3）若對任意的實數x∈［0，3］，不等式f（x）≥3x|x-a|恒成立，求實數a的取值范圍.

限于篇幅，本文僅考慮第（3）問的解答.

原題中的函數是含參的雙絕對值函數類型，常規的解法是圍繞y=|x-a|與y=|ax-1|這兩個函數的零點與閉區間的端點進行分類討論，但考慮到這些點之間的大小比較對于函數f（x）分段的影響，討論的種類會比較復雜，且要做到不重不漏實屬不易！能否簡化甚至避免分類討論來解決問題呢？

一、尋找必要條件，縮小參數范圍避免分類

針對例1的第（3）問，由題意可知，對任意的實數x∈［0，3］，不等式|ax-1|≥3（x-1）|x-a|恒成立.顯然，當x∈［0，1］時，上述不等式恒成立，故只需考慮對任意的實數x∈（1，3］，不等式|ax-1|≥3（x-1）|x-a|恒成立.

對于給定范圍內的恒成立問題，可以嘗試取特殊值，例如區間的端點或者中點，進而來尋找不等式成立的必要條件.

下面按x-a的符號進行分類：

令函數n（x）=-3x2+（4a+3）x-3a-1（其中x＞a），函數m（x）=3x2-（2a+3）x+3a-1（其中x≤a）.

且對任意的實數x∈（1，3］，有m（x）min≥0（x≤a）成立.②

先討論情形①：

不難發現，通過尋找不等式成立的必要條件，縮小了參數a的取值范圍，從而徹底解決了表達式ax-1的符號問題，將原函數轉換為單絕對值型函數，進而簡化了分類討論的過程.這里利用必要條件來簡化討論，居功至偉！既然初嘗勝果，何不乘勝追擊，再尋找更多的必要條件，力求徹底避免分類討論！

令函數g（x）=3（1-x）|x-a|+ax-1，函數n（x）=-3x2+（4a+3）x-3a-1（其中x＞a），函數m（x）=3x2-（2a+3）x+3a-1（其中x≤a）.通過取特殊點，x=2與x=3，已將參數a的取值范圍縮小為作出函數g（x）在該參數范圍內的圖像，如圖1所示.注意到函數m（x）與n（x）均為二次函數類型，根據二次函數類型在閉區間范圍內的最值分布特點，結合圖1，可找出不等式成立的又一個必要條件：對于函數m（x），取對應的判別式Δ=（2a+3）2-12（3a-1）≤0，解得3-綜上可

圖1

在上述解法中，通過分析函數與它的圖像特征，選取特殊值或特殊位置，逐步尋找不等式成立的必要條件，從而縮小了參數的取值范圍.驀然回首，答案竟已在眼前！

除這種方式以外，還能否找到其他可以避免分類討論的途徑嗎？下面以2017年3月浙江學考十校聯盟適應考第10題為例，繼續踏上優化策略的探尋之旅.

例2設函數f（x）=|x2+ax+b|（a，b∈R）.若對任意的a，b∈R，總存在x0∈［0，4］，使得f（x0）≥m，則實數m的取值范圍是（ ）.

原題中的函數是帶有兩個參數的二次絕對值函數類型，常規的解法是圍繞函數的對稱軸與閉區間的端點進行分類討論，但考慮到多參數及絕對值對于函數的影響，討論的種類會比較繁多，且不易表達.真可謂“亂花漸欲迷人眼”，那么如何才能保持清醒，避免分類討論呢？

二、運用代數性質，逐步消去變元避免分類

針對例2，由題意可知，要存在x0∈［0，4］，使得（fx0）≥m，需先求出（fx）在閉區間［0，4］上的最大值g（a，b），使得g（a，b）≥m；又對任意的a，b∈R，使得g（a，b）≥m，需再求出g（a，b）的最小值g（a，b）min，使得g（a，b）min≥m，即可將原問題等價于求解注意到這類二次絕對值函數類型的最值可能會在它的對稱軸處或者閉區間端點處的函數值中產生，則對變量x∈［0，4］有：

對于含參不等式的成立問題，分析它的代數性質，逐步消去變元，找到對應函數的最值是關鍵.充分分析最值的產生特點，運用常規不等式，進而避免分類，直抵目標！

三、轉換函數類型，運用數形結合避免分類

針對例2，還可以考慮將不等式消去絕對值后，移項整理成左右兩邊更易于分析的函數類型，即原問題等價于問題1：對任意的a，b∈R，總存在x0∈［0，4］，使得ax0+b≥-+m或ax0+b≤--m，求實數m的解集.

問題1中的兩個不等式至少一個成立，則不妨考慮其反面的求解，即等價于問題2：總存在a，b∈R，對任意的x∈［0，4］，使得-x2-m＜ax+b＜-x2+m，求實數m的解集的補集.

圖2

令m1（x）=-x2+m，m2（x）=-x2-m，n（x）=ax+b，作出圖像，如圖2所示：

當x∈［0，4］時，記函數m1（x）對應的圖像為曲線段C1，函數m2（x）對應的圖像為曲線段C2，函數n（x）對應的圖像為直線l.

問題2進一步等價于問題3：如圖2所示，在x∈［0，4］的范圍內，總可以找到一條直線l，使它對應的線段始終夾在曲線段C1與C2之間.顯然-m≤b≤m，且a＜0.不妨取b=m，聯立方程消去y，令Δ=0，求得直線l與曲線段C2相切時的方程為

設直線x=4與曲線段C1交于點D，且與該切線交于點F.為保證在x∈［0，4］的范圍內，曲線段C1始終位于該切線的上方，只需使yD＞yF，即，解得m＞2，取其補集可得，原問題所求的取值范圍是m≤2.

對于需要復雜討論的函數類型，通過變形轉化為更為簡單或更易操作的類型，例如一次函數、反比例函數等，深入研究函數圖像中的“變與不變”，找到相應的臨界位置，進而避免討論，一擊即中！

分類討論思想有著明顯的邏輯特征，需要具備一定的分析能力與分類技巧.尤其是對多變量討論時應分層進行，各層都要有明確的分類標準，要做到不重不漏.然而在審視分類討論思想應用的基礎上，也應防止“逢參必論”的“慣性”思維，尋找必要條件、利用代數性質或結合函數圖像解決問題就不必自討苦吃，非“論”不可！