多管齊下妙發(fā)力，探求數(shù)量積最值
——一道2018年上海高考題的探究學(xué)習(xí)

☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級(jí)中學(xué) 季 峰

2018年高考過(guò)后，數(shù)學(xué)風(fēng)云變幻，問(wèn)題創(chuàng)新無(wú)限，原創(chuàng)名題如云，方法美不勝收，特別是一些難度不大的題目，有時(shí)也是耳目一新.例如2018年高考上海卷第8題，背景簡(jiǎn)單，交匯合理，立意新穎，思想豐富，特別是題目巧妙設(shè)置有“靜”與“動(dòng)”、“定值”與“最值”等矛盾的統(tǒng)一體，使得問(wèn)題更有品味，破解難度不大，切入點(diǎn)也比較多，是高考眾多名題中的一大精品，具有非常好的學(xué)習(xí)、觀摩、研究、探究、拓展等價(jià)值.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

【問(wèn)題】（2018年上海卷8）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且最小值為_(kāi)_____.

本題是以平面直角坐標(biāo)系為問(wèn)題背景，借助點(diǎn)的坐標(biāo)、平面向量的坐標(biāo)表示、動(dòng)點(diǎn)的特征、兩點(diǎn)間的距離公式、平面向量的數(shù)量積來(lái)共同構(gòu)造此題目，借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、線性運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)或基本不等式等工具性的知識(shí)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.題目難度不大，但知識(shí)交匯與融合巧妙，拼湊合理有序，是一道考查知識(shí)與能力俱佳的題目.

二、多解思維

根據(jù)題意可設(shè)E（0，a），F(xiàn)（0，b），從而得出|a-b|=2，即a=b+2，或b=a+2，可求得將a=b+2代入上式即可求出的最小值；同理將b=a+2代入，也可求出的最小值.

解法1：根據(jù)題意，設(shè)E（0，a），F(xiàn)（0，b），a，b∈R，則

故答案為：-3.

根據(jù)題意可設(shè)E（0，t），F(xiàn)（0，t±2），根據(jù)對(duì)應(yīng)向量的坐

故答案為：-3.

根據(jù)題意取坐標(biāo)原點(diǎn)O，通過(guò)平面向量的線性運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化相應(yīng)的向量結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到利用來(lái)確定相應(yīng)的數(shù)量積取得最小值時(shí)必須使得E、F位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩側(cè)，結(jié)合數(shù)量積的定義及基本不等式的應(yīng)用來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.

故答案為：-3.

根據(jù)題意取坐標(biāo)原點(diǎn)O，通過(guò)平面向量的線性運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化相應(yīng)的向結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)直觀判斷當(dāng)E、F位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩側(cè)，且當(dāng)1時(shí)取得最小值.

故答案為：-3.

總評(píng)：無(wú)論通過(guò)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算還是線性運(yùn)算來(lái)切入，都離不開(kāi)平面向量的數(shù)量積的定義或坐標(biāo)公式的轉(zhuǎn)化，為進(jìn)一步借助二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)或基本不等式來(lái)確定相應(yīng)的最值提供條件.特別在處理平面向量的數(shù)量積的最值時(shí)，二次函數(shù)與基本不等式是常見(jiàn)的兩類(lèi)工具，有時(shí)還借助平面幾何圖形加以數(shù)形結(jié)合來(lái)直觀確定.

三、變式拓展

探究1：保留題目背景，改變?cè)瓉?lái)在坐標(biāo)原點(diǎn)異側(cè)的點(diǎn)A、B的位置為同側(cè)，從而得以變式.

【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_____.

解析：根據(jù)題意2，設(shè)E（0，t），F(xiàn)（0，t±2），t∈R，

故答案為：1.

探究2：保留題目條件，改變其中兩動(dòng)點(diǎn)的距離2為一般性的常數(shù)表示，從而得以變式.

【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為_(kāi)_____.

四、規(guī)律總結(jié)

其實(shí)，在平時(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要多加反思及總結(jié)，不能僅僅停留在問(wèn)題破解的初級(jí)階段，還要進(jìn)一步認(rèn)真審題，看清問(wèn)題的本源，回歸知識(shí)的本來(lái)面貌，剖析方法的多樣性與快捷性，這樣才能有助于我們更好地、更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題，提升能力，培養(yǎng)素養(yǎng).正如羅增儒教授說(shuō)過(guò)：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿(mǎn)足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯(cuò)過(guò)了提高的機(jī)會(huì)，無(wú)異于入寶山而空返.”