解數學題的思維生長點

☉安徽省金寨第一中學 吳述江

學習數學時時刻刻離不開解題，而解題的關鍵在于審題，審題主要包括兩個方面：（1）審清題中已知條件、結論及各種量之間的關系.（2）迅速且正確地確定解題方法.而解題方法的選擇正確與否，直接關系到考試的成功與失敗：簡單易行的解法不僅節約時間，也使考生在考試中樹立了信心，并且保持良好的心情，考出正常甚至超常的成績；由于錯選或誤選解題方法，常常使解題不能進行到底，同時會影響考生的情緒，因而考不出理想的成績.下面我們從四個方面來探討如何尋找數學題的思維生長點.

一、題目的結論結構特征是解數學題的思維生長點

數學主要是通過解題來考查同學們對所學知識、定義、定理的掌握程度，以及分析問題、解決問題的能力.解數學題的每一步都離不開數學定義、定理及性質，因而數學題中有意或無意，或明或暗，都反應出定理、定義、性質結構等特點.

例1已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R+，求證：

分析：從式子結構上看與一元二次方程有實根的成立條件b2≥4ac類似，因此此題的思維生長點是構造一元二次方程且有實根.

證明：構造方程：

又拋物線開口向上，所以拋物線與x軸有交點，即方程有實根，故推出Δ≥0，故原不等式成立.

例2求的最大值.

分析：從式子結構看，其與向量模、復數模、兩點距離公式、勾股定理的式子結構類似，因此可以轉化為記y=x2，轉化為求拋物線y=x2上的點P到A（3，2），B（0，1）的距離之差的最大值，因此f（x）=|PA|-|PB|，當P、A、B三點共線時，f（x）取得最大值

二、觀察特殊數字是解數學題的思維生長點

由于普遍性總蘊含于特殊性之中，所以我們常常會通過特殊數字得到啟發，從而發現思路.而特殊數字一般與公式中的數字、已知條件聯系密切.

三、利用等價轉換命題找到解數學題的思維生長點

將命題等價轉化可以達到由難到易、由繁到簡，使條件與結論比較容易聯系和溝通，從而找到契機.這種化歸與轉換思想是高考的重要思想之一，常有條件等價轉化、結論等價轉換、命題等價換化等.

例6已知a＞1，n∈N，n≥2，求證

分析：直接證明比較困難.若將命題等價轉化：令則a=（t+1）n，于是原命題變為nt＜（1+t）n-1，即證（1+t）n＞1+n（tt＞0），而此命題用二項式定理即可得證.

例7已知a，b，c∈R+，且

分析：此題看似難以入手，但若將命題轉化為求證：

例8設a，b，c為三角形ABC三邊的長，求證：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（a+c-b）.

分析：此題看似難以找到突破口，但若令

則命題轉化為求證（m+p）（m+n）（n+p）≥8mnp，此命題用基本不等式即可得證.

四、利用不變量找到解數學題的思維生長點

在解析幾何的某些動態量中，隱含著不變量，而這種不隨其他量的變化而變化的量常常是解題的思維生長點.

例9已知直線mx+y+m-1=0（m≠0）與曲線的交點個數為（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.不確定

分析：直線恒過點（-1，1），而（-1，1）滿足1，所以點（-1，1）在曲線外部，因此交點個數不確定，故答案選D.

例10直線l過（k≠0）的右焦點且與x軸垂直，l被截得的線段長為8，則k=______.

綜上所述，快速選準解題方法，既可以提高解題速度、節約時間，又可以樹立信心，是考生在高考中取得勝利的關鍵.