關注分組分配，處理計數問題

☉安徽省淮南市第十四中學 張忠孝

計數中的分組分配問題一直是排列組合中的一個重點與難點，是計數原理中的典型問題之一，也是排列、組合綜合運用的充分體現.由于分組分配問題的種類繁多、條件各異，涉及完全非均勻分組、整體均勻分組、部分均勻分組以及編號分組等情況，同時又涉及分組后的元素是否有序等問題，因此在解答實際問題時非常容易混淆，導致錯誤.

一、完全非均勻分組

所謂“完全非均勻分組”，就是將問題中的所有元素分成彼此元素個數互不相等的組.解決此類問題時只需直接分組即可達到目的.

例17人參加志愿者活動，按下列不同方法分組各有多少種不同的分法？

（1）分成3組，各組人數分別為1人、2人、4人；

（2）選出5個人分成2組，其中一組2人，另一組3人.

解析：（1）先從7人中選出1人，有種，再由剩下的6人中選出2人，有種，最后由剩下的4人為一組，有種.

也可“先選后分”：先選出5人，再分為兩組，由分步乘法計數原理得分組方法共有

點評：解決此類“完全非均勻分組”問題時，由于分組的不等分與組合數的相乘不產生矛盾，不會出現重復計數的問題，因此只要分開就可以直接達到完全非均勻分組的目的，無須考慮重復問題.

二、均勻分組

所謂“均勻分組”，就是將問題中的所有元素分成所有組元素個數相等或部分組元素個數相等的組.解決此類問題時要先分組，再除以Amm或m！（m為均勻分組的組數）.特別注意，在均勻分組的過程中，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就在確定的計數的基礎上再除以幾個這樣的全排列數.

1.整體均勻分組

例2將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天參加社區公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有______種.（用數字作答）

解析：先選出3人，有種，再由剩下的6人中選出3人，有種，最后由剩下的3人為一組，有種.

點評：對于“整體均勻分組”問題，解題過程中要注意均勻分組后，不管元素之間的順序如何，都只能看作一種情況，因而整體均勻分組后一定要除以均勻分組的組數所對應的全排列數Amm或m！（m為均勻分組的組數），避免產生重復計數的情況.

2.部分均勻分組

例3 10個人參加義務勞動，分成4組，各組分別為2人、2人、2人、4人，則不同的分組方案共有______種.（用數字作答）

解析：由于分成2人、2人、2人、4人的四個組對應的種數分別為，由分步乘法計數原理以及只能算一種不同的分組方法，可得不同的分組方3150（種），故填3150.

點評：對于“部分均勻分組”問題，只需考慮由于部分均勻分組中的無序與組合數相乘中產生的順序而導致的重復問題.在部分均勻分組中，如果有m個分組的元素是均勻的，都有對應的全排列數或m！種順序不同的排法只能算作一種分法，因而要除以該代數式.

三、編號分組

所謂“編號分組”是指將所有元素先進行分組，分組之后各組要擔任不同的工作或有不同的分工.解決此類問題時要先進行正確的分組，再乘以組數的全排列即可.

1.非均勻編號分組

例4若將6名西部地區的優秀大學畢業生分到3個不同的國家機關實習，一個機關1名，一個機關2名，一個機關3名，則有______種不同的分法.（用數字作答）

解析：將6名西部地區的優秀大學畢業生分組，分三步完成：

第1步，在6名西部地區的優秀大學畢業生中任取1名作為一組，有種取法；

第2步，在余下的5名西部地區的優秀大學畢業生中任取2名作為一組，有種取法；

再將這3組西部地區的優秀大學畢業生分配到3個不同的國家機關，有種分法.

點評：對于“非均勻編號分組”問題，由于分組后各組要擔任不同的工作或有不同的分工，先要正確分開即可達到分組的目的，再通過將不編號的組變為編號的組，乘以組數的全排列即可達到重新分配的目的.

2.部分均勻編號分組

例5 若甲、乙、丙等5名同學分別被保送到北京大學、清華大學、復旦大學三所大學就讀，若要求每所大學至少有一名保送生，則不同的保送方法種數有（ ）.

A.240 B.180 C.150 D.540

解析：本題可以理解為5個元素分為3組，故有1，1，3或1，2，2兩種分組情況，分組后再確定不同的大學，屬于“部分均勻編號分組”問題.

由題意可知，5名同學可分為1，1，3或1，2，2兩種分組情況，故不同的保送方法種數有，故選C.

點評：解決此類“部分均勻編號分組”問題時，先要進行正確的分組，特別注意解題過程中重復的次數是部分均勻分組的階乘數，即有m組的元素個數相等，則分組時就應該除以對應的全排列數Amm或m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組，在確定的計數的基礎上就要除以幾個這樣的全排列數；再在正確分組的基礎上進行編號分組.

3.整體均勻編號分組

例6某數學活動小組由12名同學組成，現將這12名同學平均分成4個小組分別研究4個不同的課題，且每組只研究一個課題，則不同的分組分配方案的種數為（ ）.

解析：本題可以理解為12個元素平均分為4組，每組3個元素，分組后再確定不同的研究課題，屬于“整體均勻編號分組”問題.

故選C.

點評：解決此類“整體均勻編號分組”問題時，可以直接理解為：12名同學平均分成4個小組后再分配4個不同的課題，實質上就是把12名同學平均分成4個不同的小組即可達到目的，故有）不同的分組分配方案.

對于分組分配問題，抓住以上幾類常見的類型，結合實際問題加以剖析，同時掌握相應的計數原理與計數公式，就能順利地解決與之相關的不同類型的分組分配問題.在此基礎上，還可以將一些其他的排列、組合問題轉化為與之對應的分組分配問題來進行分析與求解，真正達到“做一題、通一類、通一片”的最佳效果.