高中數(shù)學(xué)含參問(wèn)題求解策略例析

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 周 軍

在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中，含參問(wèn)題不是單一的知識(shí)版塊，而是與許多知識(shí)點(diǎn)密切聯(lián)系，如解析幾何、函數(shù)、方程、不等式、線性規(guī)劃等.在解決含參問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)具體的問(wèn)題情景與涉及的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用常見(jiàn)的含參問(wèn)題的求解策略進(jìn)行解答，這樣才能從知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)層面解答好含參問(wèn)題.本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)為例，結(jié)合不同的知識(shí)案例來(lái)闡述常見(jiàn)的解題思路與方法，為廣大師生提供經(jīng)驗(yàn)借鑒.

一、平面向量中的含參問(wèn)題

平面向量是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)內(nèi)容，是代數(shù)關(guān)系與空間關(guān)系的結(jié)合，也是后續(xù)解析幾何、立體幾何等內(nèi)容的重要基礎(chǔ).作為重要的考點(diǎn)，在平面向量的問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)參數(shù)，提升了對(duì)學(xué)生思維量的考核，求解難度較大，在江蘇省高考中經(jīng)常作為填空題的壓軸題出現(xiàn).下面筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與具體案例列舉出兩種最為常見(jiàn)的解題思路與方法.

1.建立直角坐標(biāo)系

一般來(lái)說(shuō)，構(gòu)建直角坐標(biāo)系是解決平面向量問(wèn)題的通用解法，只要能夠在平面內(nèi)建立起坐標(biāo)系，那么各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以表示出來(lái)，與之相對(duì)應(yīng)的向量關(guān)系就可以得到確定.

【案例1】在四邊形ABCD中，已知邊AB與CD平行，AB的長(zhǎng)度為CD的2倍，M與N分別為邊CD與BC的中點(diǎn).現(xiàn)存在向量關(guān)系則λ+μ的值為_(kāi)_____.

圖1

解析：因?yàn)檫@是一道填空題，因此可以將問(wèn)題特殊化，假設(shè)四邊形ABCD是一個(gè)直角梯形，建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示.令CD的長(zhǎng)為a，AD的長(zhǎng)為b，則AB的長(zhǎng)為2a.易知M點(diǎn)的坐標(biāo)為N點(diǎn)的坐標(biāo)為B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，0）.因?yàn)橐詫⒏鼽c(diǎn)坐標(biāo)代入，可得（所以有方程組

2.構(gòu)造向量基底

有時(shí)候構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的運(yùn)算量過(guò)大，難以快速求解出正確答案，那么可以嘗試構(gòu)造向量基底.這一方法也是解決平面向量含參問(wèn)題的常用方法.在構(gòu)建向量基底時(shí)，需要結(jié)合平面向量的基本定理，根據(jù)確定的向量基底來(lái)表示題目所涉及的向量，由向量基底來(lái)表示已知條件中的各種向量關(guān)系，進(jìn)而起到“消元”的作用，實(shí)現(xiàn)向量的統(tǒng)一.

【案例2】已知四邊形ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2，∠BAD的大小為120°，E、F分別為邊BC與DC上的點(diǎn)，滿足數(shù)量關(guān)系BE=λBC，DF=μDC.如果向量試求解λ+μ的值.

圖2

總結(jié)：綜上所述，在解決含有參數(shù)的平面向量問(wèn)題時(shí)，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，解題的思路與方法也比較多樣.上述兩種方法比較常用，但是需要根據(jù)題目的實(shí)際情況，選用合適的方法，因此在日常的練習(xí)中要注意反思與總結(jié)，做到靈活變通.

二、不等式中的含參問(wèn)題

1.逆向思維法

【案例3】已知不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5，若滿足該不等式的x的最大值為3，試求解參數(shù)p的值.

解析：本題是含絕對(duì)值的不等式問(wèn)題，常規(guī)思路是去絕對(duì)值，那么就需要進(jìn)行分類(lèi)討論，因而解題過(guò)程就會(huì)變得很復(fù)雜.觀察題目可知，x的最大取值為3時(shí)不等式成立，也就是說(shuō)該值是不等式解的端點(diǎn)值，從而x=3是等式|x2-4x+p|+|x-3|=5的一個(gè)解，代入可得p=8或p=-2.接下來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論：

如果p=8，那么不等式為|x2-4x+8|+|x-3|≤5.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x2-4x+8在R上的最小值為4，大于0，因此絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式可以變形為：

解得x∈［2，3］，符合題意.

如果p=-2，那么不等式為|x2-4x-2|+|x-3|≤5，顯然x=5時(shí)不等式依然成立，與已知條件中的x的最大值為3相悖，因此p=8.

2.整體法

【案例4】已知函數(shù)（fx）=x，g（x）=x2+a（a≥0）.如果不等式≤1在x∈［1，2］上恒成立，試求解參數(shù)a的取值范圍.

三、線性規(guī)劃中的含參問(wèn)題

在每年的高考中，線性規(guī)劃問(wèn)題也是必考題型之一，而且經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，且參數(shù)出現(xiàn)的位置不唯一，可以在約束條件中，也可以在目標(biāo)函數(shù)中，下面就結(jié)合具體習(xí)題進(jìn)行說(shuō)明.

1.約束條件中的參數(shù)問(wèn)題

【案例5】已知不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，試求解參數(shù)a的取值范圍.

解析：由前三個(gè)不等式可以確定平面區(qū)域（圖3）.

圖3

圖中的△OAB，其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（1，0），不等式x+y≤a所表示的是斜率為-1的直線及其左下方的平面區(qū)域.令y≤-x+a，將其從左至右平移，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，a=1；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，.顯然，當(dāng)a的取值范圍為（0，1］時(shí)，所圍成的平面區(qū)域?yàn)槿切危项}意；當(dāng)a的取值范圍為時(shí)，所圍成的平面區(qū)域?yàn)槿切危项}意；當(dāng)a的取值范圍為時(shí)，所圍成的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形，不符合題意；當(dāng)a=0時(shí)，所圍成的平面區(qū)域?yàn)樵c(diǎn)，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍為

總結(jié)：在本題中，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助動(dòng)態(tài)思維來(lái)討論不同的情況.

2.目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題

【案例6】已知不等式組標(biāo)函數(shù)為z=ax+2y.如果當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=0時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，試求解參數(shù)a的取值范圍.

解析：根據(jù)不等式組確定圍成的平面區(qū)域，如圖4中陰影部分所示.已知z=ax+2y，可得該函數(shù)表達(dá)式的幾何意義是斜率為的一系列平行直線.如果函數(shù)z=ax+2y僅在x=1，y=0時(shí)取得最小值，那么直線故解得a的取值范圍為（-4，2）.

圖4

總結(jié)：在解決這道問(wèn)題時(shí)，借助最值的成立條件來(lái)確定直線的位置，進(jìn)而確定不等關(guān)系是關(guān)鍵.在直線旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，需要把握a的幾何意義及其臨界狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的值.