立足高考題價值 探尋多角度解法

☉浙江省溫州市龍港高級中學 蔡南好

立體幾何是高中數學的重要內容之一，也是各類考試中比較熱衷的考點之一，它是考查學生空間想象能力的重要知識載體.這就更需要我們多加研究，以便熟練地掌握立體幾何中位置關系的證明和空間角的求解方法.同一數學問題，可以從多方位、多角度、多層次入手，就會得到多種解題思路和方法，提高對數學知識的理解和掌握，從而提升數學解題能力，培養優良的數學素養.

例題（浙江省2018年高考數學第19題）如圖1，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；（略）

（Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.

（說明：下文中θ均指直線AC1與平面ABB1所成的角）

思路1：線面角的定義：過斜線上除斜足外任意一點作面的垂線，連接垂足和斜足得斜線在平面內的射影，則斜線與射影所成的角稱為線面角.由線面角的定義可知，要求線面角，實際上只要知道點到面的距離即可.

解法1：由題意得CC1∥BB1，則CC1∥平面ABB1.所以點C1到平面ABB1的距離與點C到平面ABB1的距離相等.因為B1B、CC1均垂直于平面ABC，易證點C到平面ABB1的距離為點C到邊AB的距離，即為

圖1

思路2：由思路1我們知道，求線面角即求點到面的距離即可.因此，我們可以通過過要求的點作已知平面的垂面，從而作出垂線，進而得到垂線的長度，最后解決問題.

解法2：如圖2，過點C1作C1D⊥A1B1且交A1B1的延長線于點D，連接AD.

由AB1⊥平面A1B1C1，

得平面A1B1C1⊥平面ABB1.

由C1D⊥A1B1，

得C1D⊥平面ABB1.

所以∠C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.

圖2

思路3：空間向量是有效解決立體幾何知識的重要工具，它可以把空間位置關系或空間角轉化為相關向量之間的位置關系或角度關系.這樣，我們就可以把題目中要求的量轉化為向量來進行計算.

解法3：如圖3，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x軸，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz.由（Ⅰ）可知

圖3

設平面ABB1的法向量為n=（x，y，z）.

因此，直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是

思路4：由余弦定理這就是“萬能”的對角線向量定理，利用這一結論我們可以快速地解決很多“難題”.

解法4：過C作CG⊥AB于點G，則為平面ABB1的一個法向量，從而線面角可以轉化為的夾角.

思路5：三正弦定理可以很好地架起二面角與線面角之間的關系.如圖4所示，平面α∩平面β=l，A，B∈l，C∈α，CO⊥平面β，CB⊥l，垂足為B，則有sinγ=sin∠1·sin∠2.

圖4

解法5：過C作CG⊥AB，垂足為G，連接C1G，則∠C1GC為二面角C1-AB-C的平面角，易得∠C1GC為30°，則二面角C1-AB-A1的平面角大小為60°.

由三正弦定理得sinθ=sin∠C1AB·sin60°

思路6：三余弦定理可以很好地架起二面角與線線角之間的關系.如圖5所示，A，B，C∈α，O?平面α，OB⊥平面α，CB⊥AC，垂足為C，則有cosγ=cos∠1·cos∠2.

圖5

解法6：過C作CG⊥AB，垂足為G，由三余弦定理得：

通過“一題多解”可以將主干知識進行“串聯”，同時“并聯”起數學思想方法和核心素養，開拓學生的解題視野，有效促進學生思維品質的改善和創新發展能力的提升，使學生體驗到數學的樂趣，收獲成功的喜悅，增強學習數學的興趣和信心.

多角度解題是開發智力、培養能力的一種行之有效的方法，它對溝通不同知識間的聯系、開拓思路、培養發散思維能力、激發學生的學習興趣等都十分有益.在教學中，恰當且適量的采用一題多解的方法來進行思路分析，探討解題規律，能以少勝多的鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力，掌握基本的解題方法和技巧，提升學生的數學素養和數學興趣.