數列問題中的數學歸納法

☉江蘇省太倉市明德高級中學 吳 浩

由于數列的自變量是正整數n，而數學歸納法正是用于證明關于正整數n的命題，因此它們之間有著“天然”的聯系，對于一些數列問題，當你從數學歸納法的角度去分析與思考，并輔以其他的數學思想方法時，往往會“乘風破浪，直達彼岸”.本文舉例說明，以供讀者參考.

一、數學歸納法與分析綜合法強強聯手

用數學歸納法證明關于正整數n的命題，從“P（k）”到“P（k+1）”，往往需要結合條件和結論，經過分析綜合等邏輯推理使問題得以解決.

例1已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，點（n，Sn）均在函數y=bx+r（b＞0且b≠1，b、r均為常數）的圖像上.

（1）求r的值；

（2）當b=2時，記bn=2（log2an+1）（n∈N*）.證明：對任意的n∈N*，不等式

解析：（1）由題意，得Sn=bn+r，當n≥2時，Sn-1=bn-1+r，所以an=Sn-Sn-1=bn-1（b-1）.

由于b>0且b≠1，所以當n≥2時，{an}是以b為公比的等比數列.

解得r=-1.

（2）由（1）知an=2n-1，因此bn=2n（n∈N*）.所以要證明的不等式為

所以當n=k+1時，結論成立.

由①②可知，當n∈N*時，不等式

點評：用數學歸納法解題的關鍵是第二步，難點也是第二步.在本題的證明中，證明成立是難點.我們采用了分析綜合法來證明，降低了難度，從而順利地解決了問題.

二、數學歸納法與放縮法共創輝煌

涉及關于正整數n的不等式，從“P（k）”到“P（k+1）”，要證明不等式A＜B成立，有時可以將它的一邊放大或縮小，再尋找一個中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法稱為放縮法.

例2已知數列{an}的前n項和為為正整數）.

（1）令bn=2nan，求證數列{bn}是等差數列，并求出{an}的通項公式；

因為bn＝2nan，所以bn＝bn-1+1，即當n≥2時，bn-bn-1＝1.

又b1＝2a1＝1，所以數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列.

由2＜2×1+1，22＜2×2+1，23＞2×3+1，24＞2×4+1，25＞2×5+1，…

可猜想當n≥3時，2n＞2n+1.證明如下：

（1）當n＝3時，由上述驗算顯然成立.

（2）假設n＝k（k≥3）時，猜想成立，即2k＞2k+1.

則當n＝k+1時，2k+1＝2·2k＞2（2k+1）＝4k+2＝2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1.

所以當n＝k+1時，猜想也成立.

綜合（1）（2）可知，對一切n≥3的正整數，都有2n＞2n+1.

點評：運用放縮法解題，要注意適度，放得過大或過小都不能達到解題的目的.

三、數列歸納法與函數思想珠聯璧合

猜想結論，并證明所猜想的結論，是數列中的一類探索性問題，解答這類問題時，一般先采用特殊化法猜想結論，此時要用到方程思想，然后再運用數學歸納法加以嚴格證明.

例3 是否存在常數a、b、c，使得等式1·22+2·32+…（an2+bn+c）對一切正整數n都成立？并證明你的結論.

猜想：等式1·22+2·32+…+11n+10）對一切n∈N*都成立.

下面用數學歸納法證明：

（1）當n=1時，由上述可知，等式成立.

（2）假設n=k（k≥1）時，等式成立，

由此可知，當n=k+1時，等式也成立.

綜合（1）（2）可知，當a=3，b=11，c=10時題設的等式對一切正整數n都成立.

點評：這是一個探索性命題，“歸納——猜想——證明”是一個完整的發現問題和解決問題的思維模式.

從以上幾個例子可以看出，數學歸納法作為數學解題的一種重要方法，在數列問題中有著極其廣泛的應用，但在運用過程中，它從來不是“孤軍奮戰”，在面對具體問題時，我們應該選擇合理的“戰略伙伴”，只有這樣，才能讓數學歸納法發揮無比的威力.