股票價(jià)格幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的理論錯(cuò)誤及糾正

高宏

摘要：幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型是現(xiàn)代金融學(xué)用來(lái)描述股票價(jià)格隨時(shí)間演變過(guò)程的隨機(jī)模型，但是眾多學(xué)者的實(shí)證研究結(jié)果表明，幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型與事實(shí)嚴(yán)重不符。本文指出了幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型將股票價(jià)格假設(shè)為隨機(jī)變量的理論錯(cuò)誤，并根據(jù)股票價(jià)格與時(shí)間一一對(duì)應(yīng)的實(shí)際現(xiàn)象，將股票價(jià)格抽象為確定性的時(shí)間函數(shù)，重建了可正確描述股票價(jià)格現(xiàn)象的幾何布朗運(yùn)動(dòng)函數(shù)模型，可為證券投資活動(dòng)的量化分析、價(jià)格預(yù)測(cè)及風(fēng)險(xiǎn)管理提供準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述工具。

關(guān)鍵詞：幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型 隨機(jī)模型 函數(shù)模型

一、引言

幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型是現(xiàn)代金融學(xué)用來(lái)描述股票價(jià)格隨時(shí)間演變過(guò)程的隨機(jī)模型（Merton，2013;王軍等，2018）。但是，幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型描述的股票價(jià)格收益率數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，表明股票市場(chǎng)中存在著確定性的盈利機(jī)會(huì)，這不僅與股票市場(chǎng)“股票價(jià)格隨機(jī)變化”的實(shí)際觀察結(jié)果和現(xiàn)代金融學(xué)中的有效市場(chǎng)假說(shuō)不符，也與Kendall（1953）、Osborne（1959）、Samuelson（1965）和 Fama（1965）等眾多學(xué)者的股票價(jià)格收益率序列均值為零的實(shí)證研究結(jié)果不符。本文指出了幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型不能正確描述股票價(jià)格波動(dòng)現(xiàn)象及規(guī)律的變量假設(shè)錯(cuò)誤，并根據(jù)股票價(jià)格與時(shí)間一一對(duì)應(yīng)的實(shí)際現(xiàn)象，將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為函數(shù)關(guān)系，使用無(wú)漂移的幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程樣本函數(shù)模型來(lái)描述股票價(jià)格波動(dòng)現(xiàn)象，不僅可正確描述股票價(jià)格隨時(shí)間演變的過(guò)程，而且也揭示出了股票價(jià)格波動(dòng)本身包含有線性趨勢(shì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

二、錯(cuò)誤現(xiàn)象

設(shè)S（t）為股票價(jià)格，若S（t）滿足下面的隨機(jī)微分方程，則稱它遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)（Hull，2013;林清泉，2008;趙勝民，2010）：

（1）

式中μ為股票價(jià)格收益率的數(shù)學(xué)期望，σ為股票價(jià)格的波動(dòng)率，W（t）為服從N（0，1）的維納過(guò)程，也稱標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)式（1），可得股票價(jià)格S（t）收益率的數(shù)學(xué)期望：

（2）

式（2）表明，股票價(jià)格的短期收益率為常數(shù)，股票市場(chǎng)中存在著確定性的盈利機(jī)會(huì)，這不僅與現(xiàn)代金融學(xué)“股票價(jià)格隨機(jī)變化”的長(zhǎng)期觀察結(jié)果和有效市場(chǎng)假說(shuō)不符，也與Kendall（1953）、Osborne（1959）、Samuelson（1965）和 Fama（1965）的股票價(jià)格收益率序列均值為零、在統(tǒng)計(jì)上不具有相關(guān)性的實(shí)證研究結(jié)果不符。

三、錯(cuò)誤原因

根據(jù)隨機(jī)過(guò)程定義（王麗霞，2012），隨機(jī)過(guò)程{ X（ω，t），t∈T}是定義在Ω×T上的二元函數(shù)，其中Ω={ω}為樣本空間，T是給定的參數(shù)集，參數(shù)t通常表示時(shí)間。

對(duì)于固定的ω∈Ω，X（ω，t）是一個(gè)定義在T上的確定性時(shí)間函數(shù)，此函數(shù)通常被稱為隨機(jī)過(guò)程{ X（ω，t），t∈T}的樣本函數(shù)或樣本軌道。實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)樣本函數(shù)對(duì)應(yīng)著隨機(jī)試驗(yàn)中的一次“測(cè)量結(jié)果”。我們觀測(cè)到的股票價(jià)格隨時(shí)間變化的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是隨機(jī)過(guò)程中的一個(gè)樣本函數(shù)。

對(duì)于固定的t∈T，X（ω，t）是隨機(jī)變量， X（ω，t）的所有可能取值所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間或樣本空間，可用隨機(jī)變量的概率分布來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)特性。

在隨機(jī)過(guò)程理論中，通常將隨機(jī)過(guò)程X（ω，t）簡(jiǎn)記為X（t）。為了便于區(qū)別隨機(jī)變量和樣本函數(shù)，通常用大寫(xiě)X（t）表示隨機(jī)變量，用小寫(xiě)x（t）表示樣本函數(shù)。因此，隨機(jī)過(guò)程X（t）是一族樣本函數(shù)x（t）的集合。

隨機(jī)變量X（t）實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)函數(shù)，它是定義在樣本空間Ω上的單值函數(shù)，但其自變量是樣本點(diǎn)ω，而非時(shí)間t。在固定的時(shí)間點(diǎn)，隨機(jī)變量在樣本空間Ω有多個(gè)樣本函數(shù)值。

研究隨機(jī)過(guò)程主要有兩種方法：概率法和分析法。在樣本空間Ω上研究隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量通常使用隨機(jī)模型和概率方法，在參數(shù)集T上研究隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)通常使用函數(shù)模型和分析方法。

因此，建立股票價(jià)格隨時(shí)間演變的數(shù)學(xué)模型時(shí)，股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系只能被抽象為隨機(jī)過(guò)程中的一個(gè)樣本函數(shù)，而非隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量。如果將股票價(jià)格s（t）假設(shè)為隨機(jī)變量S（t），則幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型就成為隨機(jī)模型，描述的是樣本函數(shù)集合S（t）的統(tǒng)計(jì)特性，而不是單個(gè)樣本函數(shù)s（t）的軌道特性，研究對(duì)象從單個(gè)樣本函數(shù)s（t）變?yōu)闃颖竞瘮?shù)集合S（t），必然會(huì)得出與事實(shí)不符的結(jié)論。

四、錯(cuò)誤糾正

五、結(jié)論

本文指出了幾何布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)模型用于描述股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，以及不能正確描述股票價(jià)格波動(dòng)現(xiàn)象及規(guī)律的變量假設(shè)錯(cuò)誤。本文使用全新的時(shí)間函數(shù)和函數(shù)模型范式重建了股票價(jià)格研究領(lǐng)域的基本概念和研究方法，首先根據(jù)股票價(jià)格與時(shí)間一一對(duì)應(yīng)的實(shí)際現(xiàn)象，將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)，然后采用確定性的函數(shù)模型而不是隨機(jī)模型來(lái)描述股票價(jià)格隨時(shí)間演變過(guò)程。本文建立了微分和積分兩種形式的幾何布朗運(yùn)動(dòng)函數(shù)模型，推導(dǎo)出了股票價(jià)格幅頻特性，不僅能正確描述股票價(jià)格波動(dòng)現(xiàn)象，而且也揭示出了股票價(jià)格波動(dòng)的頻域特性，以及股票價(jià)格本身包含有線性趨勢(shì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

參考文獻(xiàn)：

[1]Robert C.Merton.連續(xù)時(shí)間金融[M].郭多祚譯.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2013.

[2]王軍.邵吉光.王娟，隨機(jī)過(guò)程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用（第2版）[M].北京：清華大學(xué)出版社和北京交通大學(xué)出版社，2018.

[3]Kendall M. The Analysis of Economic Time-Series-Part I： Prices[J].Journal of the Royal Statistical Society，1953，116 （1）：11–34.

[4]Osborne M. F. M. Brownian motion in the stock market[J].Operations Research，1959，7（2）：145–173.

[5]Samuelson P.A.Proof That Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly[J].Industrial Management Review，1965，6（2）：41-49.

[6]Fama Eugene，Random Walks In Stock Market Prices，F(xiàn)inancial Analysts Journal，1965，21 （5），pp55–59.

[7]John C.Hull.期權(quán)、期貨及其他衍生品[M].王勇譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013.

[8]林清泉.數(shù)理金融學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008.

[9]趙勝民.金融工程[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2010.

[10]Campbell John Y.，Andrew W. Lo and A. Craig MacKinlay，The Econometrics of Financial Markets，Princeton University Press，1997.

[11]王麗霞.概率論與隨機(jī)過(guò)程：理論、歷史及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[12]常建平.隨機(jī)信號(hào)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

（作者單位：清華大學(xué)）