基于博弈論組合賦權的正態云模型在地下水水質評價中的應用

朱志強，唐金平，張 強，彭 琪，李 瑩

(1.成都理工大學 地質災害防治與地質環境保護國家重點實驗室，成都 610059；2.中國石油天然氣股份有限公司浙江油田分公司，杭州 310000)

0 引 言

近年來，隨著國家工業化、城鎮化進程的加深，地下水的不合理開發現象愈發加重，由此導致地下水污染問題日趨嚴重，水質情況不容樂觀[1]，因此對地下水進行水質分級，建立健全的地下水資源信息系統，對地下水質量保護、地下水資源的合理利用具有重要意義。目前，有很多的水質評價方法，如投影尋蹤法、F值法、變異系數權重法、模糊分析法、貝葉斯模型等。上述研究方法對水質分級評價的研究起到了重要的推動作用，但對評價指標的模糊性和隨機性等問題上適應性很差，因此探索新的水質評價模型是很有必要的。

正態云模型在模糊集理論的基礎上發展而來，融合了模糊性和隨機性等特點，李德毅等[2]已經證明了正態云模型的適用性。由于水質分級及影響因素，故將正態云模型引入水質評價中。鑒此，本文采用正態云模型對水質狀況進行識別與比較分析，充分反映水質變化趨勢；同時采用G2賦權法確定主觀權重，CRITIC賦權法確定客觀權重，并通過博弈論的組合賦權思想，充分挖掘權重信息，構建基于博弈論組合賦權的正態云地下水水質評價模型。以新疆獨山子區周邊8組地下水水樣為研究對象，根據研究區地下水水質評價特點分別采用模糊綜合評價法及基于博弈論組合賦權的正態云模型對其進行評價，并對模型評價結果的可信性進行分析。

1 研究方法

1.1 G2賦權法

G2賦權法是一種更適用于實際應用的區間映射賦權法。相對于其他主觀賦權法，G2賦權法的有如下特點：方法靈活、能充分反映專家風險意識、便于推廣等，從而能彌補因信息不足，專家或決策者進行主觀賦值時無法給出確定數值的缺點[3]。

設某個決策者在待評估水質指標集合{Xj}中挑選出決策者認為重要性最小的指標作為唯一參照指標，記作Yn。將其他水質指標重新排序標記為(Y1，…，Yk，…，Yn-1)。不難看出集合{Xj}與{Yk}是一一對應的。

本次水質數據為點賦值情況，所以采用帶有點賦值特征的G2賦權法求取各指標的主觀權重。

設指定的決策者根據水質相關信息，判斷水質指標的重要性程度之比Rk：

(1)

如Rk賦值準確，則可計算確定水質指標Yk的權重系數：

(2)

1.2 CRITIC賦權法

CRITIC賦權法是一種客觀權重確定方法，是由Diakoulaki在1995年提出的，適用于多指標客觀權重的處理[4]。該方法中各評價指標的客觀權重是通過評價指標內的變異性和評價指標間的沖突性來綜合確定。變異性表示同一指標下的取值差異，用標準差的形式來表現，標準差越大則差距越大，表示數據樣本所反映的信息量越大。指標間的沖突性通過相關系數來反映，相關系數的大小和正負決定著所占權重的大小。若指標間負相關系數越大，表示沖突性越大，說明指標所反映的信息有很大的差異，故指標所占的權重也越大[5]。

假設待評價的水樣個數為m，評價指標個數為n，bij為第i個水樣的第j個評價指標的實測值，則待評價的水樣實測值矩陣B為：

(1)無量綱處理。為消除數據量綱的影響，需要用公式(3)對實測數據進行無量綱處理，得到處理后的矩陣E。

(3)

(2)計算評價指標內的變異性代表值標準差σj。

(3)計算各指標間的相關系數rij，并根據公式(4)計算評價指標的沖突性代表值Rij。

(4)

(4)根據公式(5)計算Hj。Hj代表的是第j個指標包含的信息量，其值的大小表征評價指標包含信息量的多少及指標的相對重要性。

(5)

(5)根據公式(6)可計算得到權重：

(6)

1.3 基于博弈論組合賦權

基于博弈論的組合賦權法是以納什均衡為協調手段，尋求主、客觀權重沖突內的一致和妥協，是一個比較與協調相集成的過程，并尋找兩者之間共同利益的最大化。該方法能綜合主、客觀權重的優點，全方位地考慮各個指標間的固有信息，降低主觀隨意性進而提高指標賦權的科學合理性。組合賦權步驟如下[6]：

(1)本文依次采用主、客觀賦權方法計算水質指標權重，基本權重向量集為uk={uk1，uk2，…，ukn}，(k=1,2，…，n)，水質評價指標個數為n，指標賦權方法個數為L，本文L為2。設線性組合權重系數α={α1，α2，…，αL}。這些向量任意線性組合為：

(7)

(2)尋求不同權重之間的一致與妥協，以u和uk的離差極小化為目標，優化式(8)中L個線性權重組合系數αk，得到u中最滿意的權重，從而目標函數為：

(8)

(9)

1.4 正態云模型

云模型是以正態分布和鐘型隸屬函數為基礎的數學模型，用于實現客觀世界中某事物和現象定性與定量之間發生不確定性轉換，對于水質評價過程中的隨機性、模糊性和離散性問題有很好的適用性[7-11]。模型利用期望Ex、熵En、超熵He有機地將水質評價中的隨機性、模糊性和離散性結合起來，進而通過語言值完成定性與定量之間的不確定性轉換[12]。

(1)水質評價的正態云模型生成步驟如下：

①以云特征參數Ex、He2為期望和標準差，生成正態隨機數En′；

②以云特征參數Ex為期望、正態隨機數En′為標準差，生成正態隨機數x；

④循環上述步驟，生成足夠多的云滴，本文生成3 000個云滴。

(2)水質評價正態云模型的云特征參數計算步驟如下：Ex為水質分級綜合評價指標的期望，由下式給出：

(10)

En為云模型的熵，由公式(11)給出：

(11)

超熵He=k，其中k為常數，反映云模型的離散程度。

依照上述方法可計算得到水質評價云模型的特征參數(見表1)。

表1 正態云模型特征參數(Ex、En、He)Tab.1 Normal cloud model characteristic parameters(Ex、En、He)

2 實例應用

表2 2015年獨山子區地下水水質監測數據 mg/L

根據本文上述的博弈論組合賦權方法計算步驟，分別將G2賦權法、CRITIC賦權法及基于博弈論的組合賦權法所得的9個指標權重進行對比(表3)，并引入相對熵[8]理論。

(12)

上式為P、Q的相對熵。相對熵值越趨近于0，則組合權重與不同賦權法所得權重差異越小、一致性越好。經計算，組合賦權法與G2賦權法的相對熵為0.010，與CRITIC賦權法相對熵為0.007，可得知組合賦權法與這兩種賦權法的一致性程度較好，所得權重具有合理性、科學性。

表3 各種權重計算方法結果比較Tab.3 Comparison of results of various weight calculation methods

得到水質評價指標的隸屬度矩陣，結合表3中的組合權重矩陣，即可得到水樣的水質評價結果。為了驗證本文方法的可行性，選取模糊綜合評價法進行對比分析。水質綜合評價結果見表5。

表4 Z01水樣評價指標的隸屬度Tab.4 Membership of Z01 water sample evaluation index

表5 水質評價綜合結果Tab.5 Comprehensive results of water quality assessment

對比分別基于博弈論組合賦權、CRITIC賦權及G2賦權的正態云模型評價結果，Z07水樣的CRITIC賦權與博弈論組合賦權評價結果存在差異，進一步分析得到基于CRITIC賦權法的評價結果過于客觀，而博弈論組合賦權法結果更為準確，更貼近于現場水質情況；G2賦權和博弈論組合賦權評價結果一致，考慮為水樣數據量的限制導致的偶然性，可進一步驗證討論；博弈論組合賦權法兼顧了主、客觀優勢，解釋性好。模糊綜合評價法應用三種賦權方法所得評價結果進行對比，同樣存在類似情況，G2賦權法過于強調主觀信息，使Z04評價結果有偏差。

對比基于博弈論組合賦權的正態云模型、模糊綜合評價模型，一致率達75%，其中Z03、Z08水樣的水質評價結果有區別。結合Z03水樣的水質監測數據及環境基底值，Z03水樣的水質更趨于IV類，而模糊綜合評價法評價結果為I類水，進一步分析其原因為模糊綜合評價法忽略了評價因子之間的聯系，導致評價結果偏離事實；Z08水樣的水質評價結果存在差異，同樣是因為模糊綜合評價法忽略了評價因子之間的聯系，使得評價結果偏好，從而偏離事實。

不同的水質評價方法在同一組水質指標下獲得的評價結果往往存在差異性，總體來看，基于博弈論組合賦權的正態云模型評價結果相對模糊綜合評價法更有可信性。采用博弈論組合賦權法，通過綜合兩種賦權方法確定指標權重，能夠將兩種獨立的賦權方法融合起來，既避免決策者的意愿偏好，又考慮了各指標之間相互作用的隱含信息。此外，基于博弈論組合賦權的正態云模型加強了評價因子間的聯系，使得評價結果更具科學性、真實性，其計算方式更為簡單、快捷，值得進一步開展多樣本的對比研究。

3 結 論

(1)相對于傳統的評價方法，采用正態云模型，經過3 000次運算，取平均值為評價結果，更具有真實性。并且易于計算機程序實現，使得計算過程簡化，大大提高運算效率，降低運算成本。

(2)引入博弈論組合賦權思想，綜合兩種賦權方法優點，避免了決策者的主觀偏好，并充分挖掘了指標隱含的信息量。使組合所得指標權重更具有科學性、合理性。

(3)使用Kullback相對熵理論，認為組合權重值與其他兩種賦權方法所得權重值是獨立離散分布的，驗證了三者之間一致性，證明了博弈論組合賦權結果的真實性。

(4)基于博弈論組合賦權的正態云模型，對新疆獨山子區8組水樣進行了水質分析與評價。實例結果顯示，該區域水質多呈Ⅰ、Ⅱ類，局部水質出Ⅳ類，水質變化相對穩定。