外部激勵對齒輪箱系統振動能量傳遞特性的影響

李淑穎 ，霍 睿，劉 玥

(1.山東大學機械基礎實驗教學中心，山東 濟南 250061；2.山東大學機械工程學院，山東 濟南 250061)

0 引言

齒輪箱系統振動噪聲問題的研究,在20世紀50年代前,以嚙合沖擊作為描述和解釋齒輪動態激勵及動態響應的基礎,最早是將齒輪傳動系統簡化為簡單的單自由度系統。姚文席提出了單級齒輪傳動的動態設計方法，建立了系統的動態彎曲-扭轉模型[1]；王建軍研究了齒輪系統的轉子耦合振動[2]；S.Li，A.Kahraman 建立了考慮動態摩擦力的直齒輪傳動模型，把軸承簡化為阻尼和彈簧，同時采用彈性流體動力潤滑的理論完成了動態摩擦力的計算[3-4]。隨著振動相關理論趨于成熟，學者們不再簡單地把齒輪傳動系統簡化處理，開始將其視為具有彈性的機械系統，以振動理論為基礎，分析在各種因素影響下齒輪箱系統的振動特性[5-7]。

本文將齒輪箱系統視為具有彈性的機械系統，考慮外部激勵和內部激勵等多種影響因素，建立了齒輪箱板-軸承-軸-齒輪-軸-軸承-板的具有多自由度的非線性耦合系統動力學模型，并進行了數值求解，研究了外部激勵對系統振動能量傳遞特性的影響。

1 齒輪箱系統的非線性動力學模型

在齒輪箱系統中，振動噪聲的能量傳播途徑主要有結構聲傳播和空氣聲傳播。在各種激勵的作用下，齒輪回轉產生振動，結構噪聲由齒輪嚙合點經過齒輪、軸、軸承和箱體最后傳播到基座，振動傳遞的過程中會伴有噪聲。空氣噪聲的傳播途徑有兩個，一個是由齒輪嚙合處傳遞到空氣，另一個是由齒輪箱的箱體傳播到外界空氣[8-11]。對于齒輪箱而言，齒輪的嚙合振動和其連帶振動是整個系統振動噪聲的主要來源。因此，本文只考慮固體振動的傳播路徑。齒輪箱系統振動能量傳遞路徑如圖1所示。

圖1 齒輪箱系統振動能量傳遞路徑

在此基礎上，建立了板-軸承-軸-齒輪-軸-軸承-板的耦合系統動力學模型。將整個系統分為嚙合齒輪、傳動軸、軸承、齒輪箱體幾個部分，分別建立各子結構的動力學模型。根據各子結構之間的約束關系和作用力，利用子結構綜合法，建立了齒輪箱系統的動力學模型。

1.1 嚙合齒輪彎扭耦合振動模型

嚙合齒輪彎扭耦合模型可簡化為由彈簧和質量塊組成，其中彈簧忽略質量，質量塊忽略彈性，所以可采用集中質量法建模。 齒輪嚙合傳動部分是其關鍵，嚙合傳動特性的影響因素較多，包括齒輪制造和安裝誤差、嚙合沖擊作用、時變嚙合剛度的影響、齒側間隙等。本文忽略了嚙合沖擊力的影響，建立如下模型：

J1θ1(t)+r1km(t)δ(t)+r1cg(εd-εs)=T1n(t)

(1)

J2θ2(t)+r2km(t)δ(t)+r2cg(εd-εs)=-T2n(t)

(2)

m1y1(t)+Fy1(t)+km(t)δ(t)+cg(εd-εs)=0

(3)

m2y2(t)+Fy2(t)+km(t)δ(t)+cg(εd-εs)=0

(4)

1.2 傳動軸和箱體的振動方程

根據梁的彎曲振動理論，主動軸在垂直于z1方向的運動方程如式(5)所示：

(5)

式中：ρ(z1)為單位體積的質量；A(z1)為橫截面積；E為彈性模量；J(z1)為軸的慣性矩；δ(z1)為脈沖函數。l11為主動軸左段的長度；l12為主動軸右段的長度。

假設傳動軸為理想的彈性體，且軸的橫截面在扭轉振動中扔保持為平面作整體運動。設主動軸單位長度的轉動慣量為I(x1)，ρ為單位長度的質量，剪切彈性模量為G，截面的極慣性矩為Jρ(x1)，θ′(z1,t)為z1截面的角位移，則主動軸的扭轉振動方程為：

(6)

同理，可得到從動軸的振動方程。

齒輪箱箱體的橫向振動簡化為四邊簡支的矩形板的橫向振動，左箱板和主動軸軸承之間的彎矩為Mxc11，左箱板和從動軸軸承之間的彎矩為Mxc12。在各彎矩的作用下，左箱板的Y方向振動方程如式(7)：

(7)

1.3 滾動軸承剛度計算

軸承是齒輪箱傳動系統的關鍵組成部件，軸承支承剛度對齒輪箱系統的動力學性能有重要的影響。其令影響系統振動能量的傳遞。根據赫茲接觸應力理論假設，滾動軸承剛度矩陣表示為[K]bm。根據剛度的定義，各方向的剛度系數分式為：

(8)

由上述剛度定義矩陣，可計算出軸承的多維剛度，深溝球軸承多維剛度值如表1所示。根據軸承的多維剛度和軸承的變形，可計算作用在軸承內圈和外圈的力和力矩。

表1 深溝球軸承多維剛度值

根據軸承的多維剛度和其變形，可得作用在軸承內、外圈的力和力矩。其變形協調關系為：

(9)

(10)

(11)

(12)

在齒輪箱耦合振動的模型中，由于僅考慮軸和板彎曲振動的耦合，可令syc11=syc12=syc21=syc22=0。由軸承和軸之間的作用力的關系和變形協調關系，得主動軸左右兩端的力和力矩計算表達式如下：

(13)

(14)

(15)

(16)

從動軸左右兩端的力和力矩計算如式如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

根據嚙合齒輪、傳動軸、齒輪箱板的振動方程和軸承變形作用力和力矩，聯立方程組，可得到整個齒輪箱系統的動力學模型。

2 齒輪箱系統振動能量計算

振動傳播的實質是振動能量的傳播，其強度直接取決于振源輸入能量的大小。在振動理論中，振動能量傳遞功率是指單位時間內外力做功，其反映了結構振動中的能量傳遞，給出了振動傳輸的絕對度量。振動能量傳遞功率是指一個振動周期內，激勵力對振動系統輸入能量的平均值，其描述的是一種時間平均能量傳遞[11]。對于具有周期的穩態運動，其平均振動能量傳遞P和瞬時能量傳遞具有如式(9)的關系：

(21)

式中：p(t)為瞬時能量傳遞；P為平均振動能量；T為運動的周期；r為任意的正整數。

由式(21)可見，當r趨近無限大時，振動能量傳遞值實質上是瞬時能量傳遞的數學期望。

齒輪嚙合點瞬時耗散能量是嚙合力與在嚙合線方向上運動速度的乘積，其計算表達式為：

p1(t)=fv={cg[δd(t)-δs(t)]+km(t)δ(t)}[δd(t)-δs(t)]

(22)

式中：cg為嚙合阻尼；km(t)為時變嚙合剛度；δ(t)為關于側隙的非線性函數；δd(t)為動態傳遞誤差；δs(t)為靜態傳遞誤差。

主動軸a端軸承傳遞到箱板的瞬時振動能量pa1(t)表達式如式(23)：

pa1(t)=Mxc11θxc11=Mxs11θxc11

(23)

從動軸a軸承傳遞到箱板的瞬時振動能量pa2(t)表達式如式(24)：

pa2(t)=Mxc21θxc21=Mxs21θxc21

(24)

時間平均振動能量傳遞描述了激勵力對系統輸入的平均能量水平，振動和噪聲的傳播即是能量的傳播，因此時間平均振動能量傳遞可用來衡量系統的振動噪聲水平。求得以上各瞬時功率的時間平均功率，即可得到齒輪系統的能量傳遞。

3 非線性系統數學模型的求解

針對研究的齒輪箱系統的數學模型的特點，采用龍格-庫塔法對系統振動方程求解。為方便使用龍格-庫塔法，需要先將系統的動力學方程和振動能量傳遞方程離散化處理，表達為狀態空間方程的形式。定義系統的狀態變量如下：u1=F1,u2=F1,u3=F2,u4=F2,u5=Qy1,u6=Qy1,u7=Qy2,u8=Qy2,u9=φ1,u10=φ1,u11=φ2u12=φ2,u13=P1E(t),u14=Pa1E(t),u15=Pa2E(t)。

其中：F1和F2分別為主動軸和從動軸扭轉振動各階正則坐標組成的向量；Qy1和Qy2為主動軸和從動軸橫向振動各階正則坐標組成的向量；φ1和φ2為左箱板和右箱板橫向振動各階正則坐標組成的向量；p1E(T)、pa1E(t)、pa2E(t)分別為各瞬時功率的平均時間功率。

定義系統的狀態變量，根據系統的振動方程和能量傳遞函數建立系統狀態空間方程，采用龍格-庫塔法并基于MATLAB，對系統的數學模型進行求解。

4 仿真分析

基于MATLAB對齒輪箱非線性系統進行數值仿真，分析外部激勵對系統振動能量傳遞特性的影響。系統參數如下。

直齒輪模數為3，齒數為60，材料選取45#鋼，彈性模量為19.5×1010Pa，泊松比為0.28，傳動軸長度為0.8 m，慣性矩J為1.26×10-7m4，傳動軸的剪切彈性模量為G=7.62×1010Pa，截面扭轉的極慣性矩Jρ=2.5×10-7m4，單位長度的扭轉慣量為I=1.946×10-3kg·m， 齒輪箱板材料為1020鋼板，箱板密度ρc=7 870 kg/m3，箱板彈性模量Ec=2.05×1011Pa，箱板泊松比uc=0.28，箱板厚度為15 mm。梁的橫向振動阻尼為34 N/(m/s)，板的阻尼為20 N/(m/s)，齒輪的嚙合阻尼30 N/(m/s)。

時域內齒輪嚙合點的耗散能量曲線如圖2所示。主動輪轉速為n1=1 000 r/min，時域內齒輪嚙合點的時間平均振動能量傳遞，主動輪轉速為n1=1 000 r/min，受狀態變量導數初值的影響嚙合振動能量傳遞在t為0時刻的數值很大。系統進入穩定狀態后，嚙合開始后5 s系統嚙合功率流為10 W，隨時間推遲嚙合振動能量趨于穩定值。

時域內左箱板時間平均振動能量傳遞曲線如圖3所示。系統進入穩定狀態后，主動軸傳遞到左箱板的時間平均振動能量趨近于6×10-3W。

圖2 時域內齒輪嚙合點的耗散能量曲線

圖3 時域內左箱板時間平均振動能量傳遞曲線

圖4描述了外部激勵T1的角頻率為100 rad/s時，齒輪嚙合振動能量傳遞隨頻率的變化情況。在低頻時，系統的振動能量傳遞波動較大；在中低頻范時，系統振動能量傳遞值穩定在0.046 W。而后嚙合振動能量傳遞增大，在420 Hz處達到峰值，峰值過后隨著頻率的增大振動能量傳遞值迅速減小，最后趨于穩定值。

圖4 齒輪嚙合點的耗散能量曲線(角頻率為100 rad/s)

圖5描述了外部激勵T1的角頻率為100 rad/s時主動軸傳遞到左箱板的時間平均振動能量曲線。在低頻段，系統振動能量傳遞波動較大；在中低頻段和高頻段，系統振動能量趨于穩定值，但在峰值處系統振動表現出復雜特性。

圖5 左箱板的時間平均振動能量曲線(角頻率為100 rad/s)

齒輪嚙合點的耗散能量曲線能量曲線如圖6所示。當外部激勵T1的角頻率增大到300 rad/s時，齒輪嚙合振動能量傳遞曲線形狀與外部激勵角頻率為100 rad/s時相似，但在整個頻率范圍內，系統振動能量傳遞值均減小。

圖6 齒輪嚙合點的耗散能量曲線(角頻率為300 rad/s)

左箱板的時間平均振動能量曲線如圖7所示。當外部激勵T1的角頻率增大到300 rad/s時，在整個頻率范圍內，主動軸傳遞到左箱板的時間平均振動能量值均減小，但振動能量峰值仍出現在420 Hz左右。

圖7 左箱板的時間平均振動能量曲線(角頻率為300 rad/s)

由于仿真的齒輪箱非線性系統具有對稱性，主動軸傳遞到右箱板的時間平均振動能量與傳遞到左箱板相同，在此不再贅述。

5 結束語

本文建立了板-軸承-軸-齒輪-軸-軸承-板的齒輪箱非線性耦合系統動力學模型，應用振動功率流理論推導了系統振動能量傳遞計算公式；將系統動力學模型離散化，建立了系統的狀態空間方程，提出了非線性耦合系統的數值求解方法。基于MATLAB，對系統的振動特性進行了仿真分析，研究了外部激勵對系統的振動能量傳遞特性的影響。在時域范圍內，齒輪嚙合振動能量耗散和主從動軸傳遞到箱板的振動能量隨時間推移趨于一穩定值；在頻域范圍內，當外部激勵為正弦激勵時，低頻段振動波動較大，中頻段出現峰值，中高頻系統振動趨于穩定。隨著正弦激勵角頻率的增大，系統振動能量傳遞在整個頻域范圍內減小。該研究為齒輪箱的振動噪聲主動控制提供理論依據，具有一定的理論和實踐價值。