想深·想透：習題講評的教學追求
——以一道較難填空題講評為例

筅江蘇省如東縣岔河中學 楊小紅

對于較難習題，在講評時不能只是滿足于就題講題，告知解答式講評，學生對種習題講評往往只是“會一題”，難以達到“通一類”的教學效果.在較難習題教學中如何促進學生想深、想透，應該成為一種教學追求.本文記錄整理一道較難習題的講評過程，并對習題教學要促進學生想深、想透提出一些思考，供研討.

一、一道較難填空題的講評記錄

這是家庭作業中的一道較難填空題，批閱后發現全班只有5名學生得到正確答案，其他學生都出錯或空著.于是筆者對這道習題花了較長時間進行了較有深度的講評.

習題：如圖1，點D是等邊三角形ABC中BA的延長線上一點，連接CD，E是BC上一點，且DE=DC，若BD+BE=6，CE=2，則這個等邊三角形的邊長是.

圖1

圖2

師：先讓得出正確答案的5名學生站起來，你們推薦兩個同學講解一下求解思路.

生1：如圖2，作DF⊥BC于點F.由DE=DC，可得EF=CF=.在Rt△DBF中，∠B=60°則BD=2BF.由BD+BE=6，得BD+BE=2（BE+EF）+BE=3BE+2=6，所以BE=，于是等邊三角形ABC的邊長為+2=

生1講好之后，有幾個學生表示能聽懂，只是感覺算得有點繁，于是教師又安排生2講他的解法.

生2講評之后，追問幾個學生發現都沒有聽懂，其中有一個優秀學生指出不知道他的第一步“BD+x=BA+x+x=”從何而來，并指出生2好像是默認了AD=BE=x，這個默認的步驟讓生2也很尷尬，表示這一步還沒有證明就直接用了.

師：大家聽得很仔細，思考也很積極，找出了生2的一處“潛在假設”“想當然”，從后續演算來看，能算出答案，說明他的這處“潛在假設”正確嗎？如果正確，大家給出證明；如果不正確，請說明理由.

于是學生開始陷入沉思，5分鐘后，只有生1給出一種思路.

生1：還是用剛才我的輔助線，在圖2中，BD=2BF.由BD=BA+AD=2BF=2（BE+EF）=2EB+2EF=（BE+2EF）+BE=BE+EC+BE，從而有BA+AD=BC+BE.又因為BA=BC，所以AD=BE.

生1的演算是正確的，但是說得有點快，很多學生沒有跟上.追問一個優秀學生，他說了一個構造小等邊三角形的思路，但是沒能順利證明全等，所以思路受阻.筆者讓他到黑板上展示自己的這種想法.

生3：如圖3，在BA上截取BG=BE，連接EG，可得△BGE是等邊三角形，想證明△DGE△CAD，但條件沒找全.

師：思路很好，大家幫助想一下能否接通這種思路.

3分鐘后，仍然沒有進展.

師：在小處著眼構造等邊三角形不成功，能否到它的對立面，往大處思考呢？能構造一個大的等邊三角形嗎？

2分鐘后，有學生獲得思路貫通.

圖3

生4：如圖4，在BC的延長線上截取BH=BD，連接DH，可得等邊三角形DBH，再證△DBE△DHC，可得CH=BE，又CH=AD，所以BE=AD.

這個思路清楚明白，更多學生聽懂了，筆者追問了幾個中等學生，他們都能簡要復述思路.

圖4

為了取得更好的解題教學效果，促進學生對這個問題的結構有更深的認識，筆者將問題進一步做出如下一些變式呈現.

變式呈現1：如圖5，∠MON=60°，在ON上取兩點A、B，作線段AB的垂直平分線交OM于點C，連接CA、CB，在OM上截取OD=OB，連接BD.求證CD=OA.

圖5

變式呈現2：如圖6，∠MON=60°，點A、B在邊ON上，點D在邊OM上，且OB=BD，作AB的垂直平分線交OM于點C.

（1）請用尺規作圖補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證CD=OA.

教學記錄：這兩道變式習題請一些中等學生分別講解思路，他們都能順利求解，說明前面的講評了達到較好的效果.

圖6

二、習題講評要促進學生想深和想透

1.習題講評前，教師要精心“備題”，明辨解題難點和關鍵

習題講評課之前，有些教師往往對備課的認識比較“淺層”，以為只要課前把習題的思路、解法、答案想出來就可以開展習題講評了，這種習題課往往比較隨意，是缺少“備題”的習題講評，難有富有深度的習題教學出現.我們建議，針對習題講評課的精心備課即“備題”是十分有必要的，具體來說，需要想清習題的不同解法（一題多解），想清殊途何以同歸（多解歸一），需要想清、辨明較難習題的解法步驟中哪些步驟是“關鍵一步”，想清解題的思考的“起點”在哪兒，目標方向是如何明確的，從學情出發，想清學生可能的易錯點、難理解的步驟，等等.在以上一些“想清”的基礎上，預設一些鋪墊式問題，層層推進，促進學生主動思考，把更多學生的思維“卷入”到課堂中來.

2.習題講評時，教師要充分“讓學”，通過對話推進“學程”

習題講評時，教師要充分發揮學生的主體地位，而不能想當然地以為“學生都不會，就由我來講”，通過課前預設的一些互動式問題、鋪墊式問題，漸次拋出問題，相機引導與追問，推進解題教學的學程.比如，上文提到的這道較難習題，可以通過“采訪”讓獲得正確答案的學生進行講解，如果學生講解的思路不夠優化、零亂無序，則可通過引導其他學生參與優化，以“再講一遍”的方式，來梳理并簡化思路，促進更多學生的思維跟上來.如果多數學生表示都沒有聽懂，則需要重新引導，“簡化”問題帶領大家共同思考，待想清楚一個簡單的問題之后，再迎難而上，挑戰突破難點或關鍵步驟.有時還需要作輔助圖形或刪減線條幫助學生思考.總之，在習題講評過程中，不宜教師“一講到底”，而要通過對話加強互動，推進學程.

3.習題講評時，教師要引導“回顧”，解后反思看清“結構”

在習題講評環節的最后，需要引導學生回顧與反思，不只是梳理解題過程中的“關鍵一步”，以及易錯、易混步驟，還要善于提煉歸納，把一些解題經驗小結出來，幫助學生歸納梳理出來.另外，對于有些幾何圖形的“奇異”性質，也可刪減無關條件，幫助學生凸顯這些幾何圖形的性質（像上文提煉的圖1中的關鍵步驟AD=BE）.事實上，幾何問題的結構就是要想清繁雜線條的圖形是如何漸次生成的，哪些是確定的元素，哪些是動態變化的元素，在這個動態過程中，哪些線段或角之間的關系是可以被確定的.想清這些“結構”，學生就知道問題解決的關鍵是什么，以后再遇到類似問題就能向這些“結構”問題有效轉化，快速求解.

4.習題講評后，教師可改編變式題，以便適時反饋講評效果

習題講評之后，根據教學時間的許可，為了有效反饋檢測學生對習題的理解和掌握情況，需要進行變式再練，這就需要教師基于問題結構的理解進行恰當的變式改編，以便開展反饋檢測與鞏固訓練.這個教學環節是很多教師容易忽略的，原因是多方面的，如很多教師缺少命題改編的專業基本功.這里需要指出的是，當前由于網絡習題資料檢索、查找、下載的便捷，使得很多老師缺少了編題、改題、命題的鍛煉機會，以致于大量的校級試卷上幾乎看不到一道改編過的習題，每道習題都可以上網“拍照”檢索到原題，這種現狀讓人遺憾.我們建議教師在新授課教學時要重視對教材例、習題的變式改編，在習題講評之后即時安排一道變式改編的同類題跟進再練，一方面，可取得較好的教學效果，另一方面，在這些教學過程中教師也能獲得命題改編專業能力的提升.