運用數(shù)形結(jié)合方法解決初中數(shù)學中相關(guān)問題

筅江西省九江市一中 戚容睿

數(shù)與形是數(shù)學中兩個最基本的研究對象，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問題有幾何背景，借助其背景幾何圖形的性質(zhì)，可使抽象、復雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，便于解題.

數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學中有重要的地位，它不僅是一種重要的解題方法，更是一種重要的思維方法.其解題方法的特點是具有直觀性、靈活性、深刻性.使用時要把握兩個原則：（1）在“形”中找“數(shù)”，（2）在“數(shù)”上構(gòu)“形”.

用數(shù)形結(jié)合解決的初中數(shù)學問題可以概括為兩類：（1）與圖形有關(guān)的問題，將圖形信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；（2）與數(shù)量有關(guān)的問題，根據(jù)數(shù)量結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應的幾何圖形，即化為幾何問題.

下面我們以具體的例題來闡述數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學中的運用.

例1設(shè)方程|x2+ax|=4至少有3個不等的實數(shù)根，求a的取值范圍.

分析：此題可利用數(shù)形結(jié)合將其看成幾何問題，即函數(shù)y=|x2+ax|的圖像與直線y=4至少有3個不同的公共點的問題.

解：將方程|x2+ax|=4至少有3個不等的實數(shù)根，看作函數(shù)y=|x2+ax|的圖像與直線y=4至少有3個不同的公共點.先將直線y=|x2+ax|的圖像畫出來，如圖1.

圖1

解得a≥4或a≤-4.

例2設(shè)a、b、c為正實數(shù)，求證：（a+b+c）.

分析：用數(shù)形結(jié)合思想，觀察左邊，不難聯(lián)想到平面直角坐標系中兩點間的距離.

圖2

證明：設(shè)點A（a，b）、B（a+b，b+c）、C（a+b+c，a+b+c）.=（a，b）

例3求函數(shù)y=的最小值，并求出此時x的值.

分析：此題是兩個二次根式相加，按照常理，可以通過單調(diào)性求最值，但是計算起來會很煩瑣.不難看到右邊的兩個式子形如平面直角坐標系中兩點間的距離.

解：將函數(shù)關(guān)系式整理，可以得到y(tǒng)=

將其看作點A（x，0）到點B（-1，4）和點C（3，2）的距離和最小問題.如圖3所示，原問題可以轉(zhuǎn)化為求x軸上一點A，使得|AB|+|AC|最小.由于B、C兩點在x軸的同側(cè)，故作C點關(guān)于x軸的對稱點C′（3，-2），則當B、A、C′三點共線時，點A到點B和點C的距離和最小，也即所求的y有最小值.

圖3

例4求函數(shù)y=的最大值，并求出此時x的值.

分析：此題是兩個二次根式相減，按照常理，通過單調(diào)性可以求出最值，但是計算過程很煩瑣.不難聯(lián)想將右邊兩個式子看成平面直角坐標系中兩點之間的距離，從而所求即為兩條線段長度之差的最大值.

解：將函數(shù)關(guān)系式整理，可得y=

將其看作點P（x，0）到點A（-1，5）與點B（3，2）距離之差的最大值.

由圖4可知，當點P是直線AB與x軸的交點時，|AP|-|BP|最大，也即所求的y有最大值.

圖4

例5已知圓C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點.

（2）求x-2y的最大、最小值.

解：（1）如圖5，設(shè)點Q（1，2）、P（x，y）.

其最大值、最小值分別為過點Q的直線與圓C的兩條切線的斜率.將①整理，可得kx-y+2-k=0.

當直線PQ與圓C相切時，圓心（-2，0）到直線PQ的距離d=1，即d=

圖5

（2）令x-2y=u，則可視為一組平行線.當直線與圓C有公共點時，u的取值范圍可求，最值必定在直線與圓C相切時取得.

例6已知實數(shù)x、y滿足x2+y2-4x+1=0.

（2）求y-x的最值；

（3）求x2+y2的最值.

分析：求條件最值，若采用消元法則較煩瑣.我們不難想到式子x2+y2-4x+1=0圳（x-2）2+y2=3表示圓心為（2，0）、半徑為的圓C的方程.表示的幾何意義是圓C上一點與原點連線的斜率.令y-x=b，則b為直線y=x+b在y軸上的截距.表示圓C上任意一點到原點的距離.為此，可以利用數(shù)形結(jié)合，借助幾何知識解決以上三個代數(shù)問題.

解：（1）設(shè)k=，即y=kx.

由圖形可知，當直線y=kx與圓C：（x-2）2+y2=3相切時，圓心C（2，0）到直線y=kx的距離等于圓C的半徑，則

圖6

（2）設(shè)y=x+b，當直線y=x+b與圓C相切時，直線y=x+b在y軸上的截距b取得最大值和最小值，此時圓心C（2，0）到直線y=x+b的距離等于圓C的半徑根據(jù)點到直線的距離公式，可得

則x2+y2的最大值為7+4，最小值為7-4

上面的題目都是初中數(shù)學中數(shù)形結(jié)合方法最典型的運用，通過觀察代數(shù)式，聯(lián)想它們具有的幾何意義，繼而利用其幾何背景，將一個抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀、簡明的幾何問題，借助幾何圖形的“形”（兩點間的距離、直線的斜率或截距）來求%“數(shù)”（最值、取值范圍）.

初中數(shù)學中運用數(shù)形結(jié)合方法解題的例子不勝枚舉，它是初中數(shù)學中的重要思想方法，靈活、巧妙地利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，能夠讓一些沒有頭緒的難題迎刃而解.