數形結合思想在初中數學解題中的應用

筅山東省淄博市淄川區磁村中學 李廣瀟

圖1

一、利用數形結合思想比較實數的大小

我們知道，比較實數大小的方法比較多，如平方法、倒數法、作差比較法、作商比較法、估算法等.然而，有些比較實數大小問題使用這些方法解決比較麻煩，不太奏效，如果借助數形結合思想來比較實數大小，往往顯得非常簡捷.

例1證明：在這三個數中，任意兩個數之和大于第三個數.

圖2

證明：如圖2，構造一個邊長為3的正方形ABCD.分別在邊AD、CD上取點E、F，使AE=1，DF=1，則DE=2，CF=2.在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF=；在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=；在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=.在△BEF中，由三角形的三邊關系定理，可得在、這三個數中，任意兩個數之和大于第三個數.

思考：如果一個三角形的三邊長分別為，你會求這個三角形的面積嗎？怎樣求解比較簡捷？

二、利用數形結合思想求相遇的次數

在數學上有一個著名的“柳卡問題”，它是利用數形結合思想解決數學問題的典范.一些中考題正是以“柳卡問題”為背景衍生而成的.解答此類中考題也要注意作出一次函數的圖像，利用數形結合思想求兩者相遇的次數.

例2一巡邏艇和一貨輪同時從A港口前往相距100千米的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100千米/時和20千米/時，巡邏艇不停地往返于A、B兩港口巡邏（巡邏艇調頭的時間忽略不計）.求貨輪從A港口出發后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次.

分析：首先應該明白，無論是巡邏艇同向從后面追趕上貨輪，還是巡邏艇相向從前面與貨輪碰頭，都算相遇.本題若按常規方法，需要考慮巡邏艇與貨輪行駛的細節，即第一次貨輪與從B港口返回的巡邏艇迎面相遇；第二次貨輪與從A港口再次出發追趕來的巡邏艇相遇……由于貨輪與巡邏艇迎面相遇的路程在改變，巡邏艇從后面追趕貨輪的追及路程也在改變，因而比較麻煩.如果利用數形結合，只需作出貨輪從A港口出發直至行駛到B港口，以及巡邏艇從A港口出發在兩個港口往返的行駛時間與路程之間的函數關系圖，交點的個數即為貨輪與巡邏艇相遇的次數.

圖3

解：如圖3所示，先作出貨輪從A港口出發直至行駛到B港口行駛時間與路程之間的函數關系圖（用圖中實線表示），在同一直角坐標系中再作出巡邏艇從A港口出發在兩個港口往返的行駛時間與路程之間的函數關系圖（用圖中虛線表示）.從圖中可以看出，實線與虛線部分一共有4個交點，所以貨輪從A港口出發后直到B港口與巡邏艇一共相遇了4次.

點評：從圖3可以看出，我們不僅可以求出貨輪與巡邏艇相遇的次數，而且可以求出每次相遇的時間.

三、利用數形結合思想比較字母的大小

比較字母大小的通常方法是從數軸或函數圖像上面獲取字母間大小關系信息，利用不等式的性質比較大小，有時很麻煩.有些比較字母大小問題如果能夠根據函數與方程之間的關系，利用數形結合，可以獲得簡解.

例3已知x1、x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的兩個根，則實數x1、x2、a、b的大小關系是＿＿＿＿＿＿.

分析：表面上看，這是一個一元二次方程有關的問題，可先求出方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的兩個根，然后比較大小.利用一元二次方程的求根公式及x1＜x2，得x1=a+b-，x2=.x1-a=a+b--a=b-a-.由a＜b，得b-a＞0.顯然b-a＜則＜0.即x1-a＜0.則x1＜a.x2-b=-b==由a＜b， 得b-a＞0. 顯 然b-a＜則＞0.即x2-b＞0.則b＜x2.則x1＜a＜b＜x2.這種解法比較麻煩，主要是因為從一元二次方程的角度求解.聯想到二次函數的圖像與一元二次方程的關系，我們可以借助拋物線，數形結合進行巧解.

解：實數a、b是方程（xa）（x-b）=0的兩個根，它可以看作拋物線y=（x-a）（xb）與x軸的兩個交點的橫坐標.方程（x-a）（x-b）=1的兩個根可看作拋物線y=（x-a）（x-b）-1與x軸的兩個交點的橫坐標.拋物線y=（x-a）（x-b）-1可由拋物線y=（x-a）（x-b） 向下平移1個單位得到，如圖4所示.觀察圖形不難發現，實數x1、x2、a、b的大小關系為x1＜a＜b＜x2.

點評：顯然這樣求解十分簡捷.初看此題，有一種望而生畏、不知所措之感.注意到二次函數y=（x-a）（x-b）-1與y=（x-a）（x-b）的圖像之間的關系，聯想到二次函數與一元二次方程的關系，問題迎刃而解.

圖4

初中數學中利用數形結合的例子是多方面的，例如，利用數軸表示正實數、負實數和0；利用數軸確定不等式組的解集時，先在數軸上分別表示出每一個不等式的解集，然后找出公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集；在同一平面直角坐標系中作出兩個一次函數的圖像，通過觀察圖像的交點坐標確定對應二元一次方程組的近似解；在行程問題中，經常通過畫圖理解題意、分析問題；利用拼圖的方法證明勾股定理；通過圖形面積之間的關系理解平方差公式和完全平方公式的幾何意義等.希望大家能夠真正理解數形結合思想，并靈活應用數形結合思想解決數學問題.