探究一道中考題的解法

筅江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

題目：（2018·武漢）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，P是邊BC上一點，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tan∠C的值.

圖1

圖2

嘗試一：如圖2，作PD⊥AC于點D.

解題陷入困境.

嘗試二：如圖3，作CD⊥AP交AP的延長線于點D……

與嘗試一類似，陷入困境.

圖3

圖4

嘗試三：上述兩次嘗試是學生最容易想到的輔助線，遺憾的是未能求解，同時添加這兩條輔助線如何呢？

解法1：如圖4，作PD⊥AC于點D，作CE⊥AP交AP的延長線于點E.因為tan∠PAC=，所以可設PD=2k，AD=

根據勾股定理，得PA=3k.

易知∠PCE=∠BAP=∠PCD，所以PE=PD=2k.

所以AE=PA+PE=5k.

嘗試四：將嘗試一中的DP延長與AB的延長線相交如何？

解法2：如圖5，作PD⊥AC于點D，延長DP、AB交于點E.

根據勾股定理，得PA=3k.

易知∠PEB=∠C=∠BAP，所以PE=PA=3k.

所以DE=PD+PE=5k.

嘗試五：將嘗試二中的CD延長與AB的延長線相交如何？

圖5

圖6

解法3：如圖6，作CD⊥AP交AP的延長線于點D，延長CD、AB交于點E.

根據勾股定理，得AC=3k.

易知∠BCE=∠BAP=∠ACB.又CB⊥AB，所以CE=AC=3k，所以DE=CE-CD=k.

嘗試六：將嘗試一中的DP⊥AC改為PD⊥AP如何？

解法4：如圖7，過點P作PD⊥AP交AC于點D.

圖7

根據勾股定理，得AD=3k.

易知∠DPC=90°-∠APB=∠BAP=∠C.

所以CD=PD=2k，所以AC=AD+CD=5k.

嘗試七：將嘗試二中的CD⊥AP改為CD⊥AC如何？

解法5：如圖8，過點C作CD⊥AC交AP的延長線于點D.

根據勾股定理，得AD=3k.

易知∠DPC=∠APB=90°-∠PAB=90°-∠ACB=∠DCP.

所以PD=CD=2k，所以PA=AD-PD=k.

圖8

嘗試八：過點B作BD⊥AP于點D如何？

解法6：如圖9，過點B作BD⊥AP于點D，交AC于點M.

易知∠MBC=∠BAP=∠C，所以BM=CM=AM.

根據勾股定理，得AM=3k，

所以BM=3k，BD=BM-DM=k.

嘗試九：過點B作BD⊥AC于點D如何？

圖9

圖10

解法7：如圖10，過點B作BD⊥AC于點D，交AP于點M.

易知∠MBA=∠C=∠BAP，所以BM=AM=PM.

根據勾股定理，得AM=3k，BD=DM+BM=5k.

嘗試十：在Rt△ABP中，以P為頂點，PB為一邊構造一個角等于∠PAC如何？

解法8：如圖11，以P為頂點，PB為一邊作∠BPD=∠PAC，PD交AB于點D.

因為∠APB=∠BPD+∠APD=∠PAC+∠C，所以∠APD=∠C=∠BAP，所以PD=AD.

根據勾股定理，得PD=3k，AB=AD+BD=5k.

嘗試十一：在Rt△ABC中，以A為頂點，AB為一邊構造一個角等于∠PAC如何？

圖11

圖12

解法9：如圖12，以A為頂點，AB為一邊作∠BAD=∠PAC，AD交BC于點D.

則∠DAC=∠BAP=∠C，所以CD=AD.

根據勾股定理，得AD=3k，BC=CD+BD=5k.

解題不可能是一帆風順的，需要解題者在失敗中重新嘗試，在嘗試中調整思路，逐步走向成功.挖掘中考試題的教學功能是一個重要的研討主題，解題教學的著力點一定要落在學法指導（教會學生怎么想）和能力培養（如轉化能力和遷移能力）上，“教什么”“怎樣教”“教會什么”是值得每個數學教師研究的永恒話題.