例說待定系數法的應用

筅山東省濟南市萊蕪雪野鎮中心中學 王春香

初中階段我們所學的函數有三種：一次函數（一般形式為y=kx+b，其中k≠0）、反比例函數（一般形式為y=，其中k≠0）和二次函數（一般形式為y=ax2+bx+c，其中a≠0）.在解決這些與函數有關的問題時，經常需要求出函數的解析式.例如，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A、B（1，6）、C（2，4）三點，求二次函數y=ax2+bx+c的最大值.解答此題需要先設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，然后將A、B（1，6）、C（2，4）三點的坐標代入二次函數的解析式，得到一個三元一次方程組，最后解這個三元一次方程組求出a、b、c的值，這樣便可求出二次函數的解析式，從而求出二次函數的最大值.我們把這種解決數學問題的方法叫作待定系數法.在解決數學問題時，有時我們可以先根據題意設出某一含有待定系數的等式，然后利用已知條件列出關于待定系數的方程（組），最后通過解方程（組）求出待定系數，從而順利表示出所設等式，進而利用該等式解決問題，這種解決數學問題的方法就叫待定系數法.待定系數法是中學數學中一種常用的方法，下面以例子分類說明待定系數法在解決初中數學問題中的應用.

一、利用待定系數法求三角形的面積

例1如圖1，一次函數的圖像經過A（2，3）、B（0，1）兩點，與x軸交于點C，求△AOC的面積.

分析：要求△AOC的面積，由于OC邊在x軸上，我們可以以OC為底邊，則點A的縱坐標3即為該邊上的高，下面只需求出OC邊之長.可先利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而求出點C的橫坐標.

解：設直線AB的解析式為y=kx+b.

圖1

則直線AB的解析式為y=x+1.

令y=0，得x=-1.則點C（-1，0）.

S△AOC=

說明：在求平面直角坐標系內某一三角形的面積時，盡量選取三角形在坐標軸上的某邊作為底邊，如上述解法中△AOC的邊OC在x軸上，因此我們選取OC邊為底邊.當然本題也可選取OB邊作為底邊，則S△AOC=S△AOB+S△COB=另外，本題除了利用待定系數法求解，還可以利用相似的知識求解.如圖2，過點A作AE⊥y軸于點E，易證△ABE△CBO.則而BE=OEOB=3-1=2，則則OC=1.這樣也可以求出OC.因此我們要具體問題具體分析，靈活根據題目特點解題，切忌生搬硬套.

圖2

二、利用待定系數法求代數式的值

例2 王阿姨和李阿姨到同一水果超市購買水果.王阿姨購買5斤紅富士蘋果、13斤贛南臍橙、1斤廣西龍眼，共花了111元；李阿姨購買4斤紅富士蘋果、10斤贛南臍橙、1斤廣西龍眼，共花了88元.根據上述信息，你能算出購買1斤紅富士蘋果、1斤贛南臍橙、1斤廣西龍眼一共要花多少錢嗎？

分析：設1斤紅富士蘋果的價格為x元，1斤贛南臍橙的價格為y元，1斤廣西龍眼的價格為z元.根據題意可得方程組有兩個方程但有三個未知數，無法求出未知數的值.但根據題意可知，要求購買1斤紅富士蘋果、1斤贛南臍橙、1斤廣西龍眼一共要花多少錢，實際上就是求x+y+z的值.我們的解題目標是求x+y+z的值，而不是求出每個未知數的具體值，那么應該怎么辦呢？我們應該設法用含有5x+13y+z和4x+10y+z的式子表示出x+y+z，再求x+y+z就方便多了，這可借助待定系數法.

解：設1斤紅富士蘋果的價格為x元，1斤贛南臍橙的價格為y元，1斤廣西龍眼的價格為z元.根據題意，可得5x+13y+z=111，4x+10y+z=88.

設x+y+z=m（5x+13y+z）+n（4x+10y+z）.

即x+y+z=（5m+4n）x+（13m+10n）y+（m+n）z.

利用對應項的系數相等，得5m+4n=1 ①，13m+10n=1 ②，m+n=1 ③.聯立①和②，得得代入③，也成立.

則x+y+z=-3（5x+13y+z）+4（4x+10y+z）=-3×111+4×88=19.

所以購買1斤紅富士蘋果、1斤贛南臍橙、1斤廣西龍眼一共要花19元.

說明：上述解法是利用待定系數法求解，我們也可以視某一未知數為常數，將原方程組轉化為二元一次方程組求解，如視z為常數，將原方程組轉化為解得則x+y+z=（17-1.5z）+（2+0.5z）+z=19.還可以利用分離系數法，將x+y+z從兩個方程中分離出來，將方程組變形為（視x+y+z和2y-z為整體），或（視x+y+z和2x+3z為整體），（視x+y+z和x+3y為整體）的形式，這樣也可通過解二元一次方程組求解.

三、利用待定系數法分解因式

例3分解因式3x2+5xy-2y2-5x+11y-12.

分析：這是一個二次六項式.由于項數較多，無疑增加了分解難度.我們可以對原式進行分組，然后運用待定系數法求解.

解：按二次項、一次項、常數項對原式進行分組，得原式=（3x2+5xy-2y2）+（-5x+11y）-12.

3x2+5xy-2y2=（3x-y）（x+2y）.

設原式=（3x-y+m）（x+2y+n），展開整理，得3x2+5xy-2y2+（m+3n）x+（2m-n）y+mn.

利用對應項的系數，得m+3n=-5 ①，2m-n=11 ②，mn=-12 ③.

則原式=（3x-y+4）（x+2y-3）.

說明：上述解法是按次數分組，也可將原式整理為關于某一字母的二次三項式，然后分組，如將原式整理為關于x的二次三項式，得3x2+（5y-5）x-2y2+11y-12，先對-2y2+11y-12因式分解，得-2y2+11y-12=（-y+4）（2y-3）. 設原式=（mx-y+4）（nx+2y-3），展開整理，得mnx2+（2m-n）xy+（-3m+4n）x+11y-12.利用對應項的系數相等，得mn=3 ①，2m-n=5 ②，-3m+4n=-5 ③.聯立②和③，得解得代入③式，也適合.則原式=（3x-y+4）（x+2y-3）.

四、利用待定系數法求字母的值

例4求A，B，C的值.

分析：此類問題實際是一類恒等式問題，可先將分式方程轉化為整式方程，然后利用對應項的系數相等求解.

解：原分式方程兩邊同時乘以x（x+2）（x-3），得

x2-x+2=（x+2)(x-3)A+x(x-3)B+x(x+2)C.

整理，得x2-x+2=（A+B+C）x2+（-A-3B+2C）x-6A

利用對應項的系數相等，得A+B+C=1，-A-3B+2C=-1，-6A=2.解得A=-

說明：在將原分式方程轉化為整式方程后，也可利用賦值法求待定字母的值，如今x=0，可得-6A=2，于是A=-；令x=-2，得 10B=8，于是 B=；令x=3，得 15C=8，于是 C=