點、線與圓手牽手

筅山東淄博第十五中學 李 剛

對點與圓的位置關系及直線與圓的位置關系的重點、難點進行歸納、總結，可使學生深入理解直線與圓的概念，靈活使用解題方法，可較大程度地提高學生在各類考試中的應試能力.

一、點與圓的位置關系

點與圓的位置關系有三種：（1）點在圓內，（2）點在圓上，（3）點在圓外.如圖1：

圖1

怎樣判斷這三種關系呢？主要利用點到圓心的距離d和半徑r的大小來判斷.

假設圓心為O0（x0，y0），點A（x1，y1），則點A到圓心的距離d=

（1）點在圓內圳d＜r；

（2）點在圓上圳d=r；

（3）點在圓外圳d＞r.

對圓的方程來說：

若圓（x-a）2+（y-b）2=r2，那么點A（x0，y0）在：

若圓x2+y2+Dx+Ey+F=0，那么點A（x0，y0）在：

例1判斷點A（1，1）、B（4，4）與圓（x-3）2+（y-3）2=2的位置關系.

分析：只需把A、B兩點的坐標代入圓的方程，比較兩邊的大小即可.

解：把點A的坐標代入圓的方程，得（1-3）2+（1-3）2=4+4=8＞2，所以點A在圓外.

把點B的坐標代入圓的方程，得（4-3）2+（4-3）2=1+1=2，所以點B在圓上.

例2判斷點A（2，2）與圓x2+y2-6x-6y+10=0的位置關系.

分析：只需把點A的坐標代入圓的方程，比較兩邊的大小即可.

解：把點A的坐標代入圓的方程，可得22+22-6×2-6×2+10=-6＜0，所以點A在圓內.

以上各題可用數形結合法求解.

二、直線和圓的位置關系

直線和圓的位置關系有三種：（1）直線和圓相交，（2）直線和圓相切，（3）直線和圓相離.如圖2：

圖2

判斷這三種位置關系的方法有兩種：

（1）代數法，即把圓的方程（x-a）2+（y-b）2=R2和直線的方程Ax+By+C=0聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系.

①Δ＞0，有兩根，直線和圓相交.

②Δ=0，有一根，直線和圓相切.

③Δ＜0，無根，直線和圓相離.

此法比較煩瑣，運算量大.

（2）幾何法，即把圓心O0（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=和半徑R的大小加以比較.

①d＜R，直線和圓相交，有兩個交點.

②d=R，直線和圓相切，有一個交點.

③d＞R，直線和圓相離，無交點.

此法比較簡潔，出錯率低.

例3判斷三條直線：（1）x+3y+3=0，（2）x+2y+3=0，（3）x-y+3=0，它們與圓（x-3）2+y2=4的位置關系.

例4設m＞0，則直線（x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關系為（ ）.

A.相切 B.相交

C.相切或相離 D.相交或相切

則直線與圓的位置關系是相切或相離.

答案為C.

三、應用

1.巧用位置關系

例5 過原點的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切，若切點位于第三象限，則該直線的方程是（ ）.

解析：由于直線過原點，所以可設直線方程為y=kx，即kx-y=0.

由x2+y2+4x+3=0，知圓的方程為（x+2）2+y2=1，圓心是（-2，0）.

由直線與圓相切，得圓心到直線kx-y=0的距離為1，即d==1，解得k=±

練習1：（2005年全國）求圓心為（1，2）且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程.

2.巧用直線的斜率和截距

例6如果直線l將圓x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么直線l的斜率的范圍是（ ）.

解析：圓的方程可化為（x-1）2+（y-2）2=5，圓心為（1，2）.

由直線l平分圓，得直線l過圓心（1，2）.

設直線方程為y-2=k（x-1），即y=kx+2-k.

練習2：（2005年北京）從原點向圓x2+y2-12y+27=0作兩條切線，則這兩條切線的夾角的大小為（ ）.

3.巧用對稱性

例7自點A（-3，3）發出的光線射到x軸上后，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.

解析：由光的反射定律，可知如果反射光線與已知圓相切，則入射光線必與已知圓關于x軸的對稱圓相切.

圓C的方程為（x-2）2+（y-2）2=1，它關于x軸的對稱圓C′的方程為（x-2）2+（y+2）2=1.

設光線l所在直線的方程為y-3=k（x+3）.

由l的反射光線與圓相切，得l和圓C′相切.

即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

練習3：（2003年全國）求直線y=2x關于x軸對稱的直線方程.

4.巧用平面幾何知識

例8已知圓滿足：①被y軸所截得到的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l：x-2y=0的距離為，求圓的方程.

解析：設圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

由②得r2=2b2.

由①得r2=a2+1，則2b2=a2+1.

則r2=2b2=2.

故圓的方程（x+1）2+（y+1）2=2或（x-1）2+（y-1）2=2.