例談相似三角形中的“四、三、二、一”*

筅江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 袁春仙

“相似圖形”作為圖形與幾何體系中重要的內容，近些年來，各地中考題在選擇、填空及解答題常常涉及，考題不僅考查學生對相似基礎知識的掌握，還考查對相似三角形與圓的關系的理解及有關計算，同時兼顧考查學生分析問題、解決問題的能力，以及綜合運用知識的能力.對于面臨中考的學生，想在中考中獲得高分，對這部分內容必須尤為關注.通過長時間的教學思考與研究，筆者意識到這部分內容知識點多，考點相對分散，故在這部分的學習上必須采用新穎的方法.筆者曾在一次“相似三角形”復習課的教學時，運用了四字記憶法：四、三、二、一，頗有成效，故撰文與讀者交流.

一、“四”：相似三角形的四種判定

新課標指出，數學應用方面需要大力加強，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程.筆者認為，學生將所學的知識歸納從而解決問題是學生必須具備的能力，靈活運用相似三角形的四種判定方法更是學習相似三角形最基本的能力.

例1 下列四個三角形中，與圖1中的三角形相似的是（ ）.

點評：此題借助網格，考查三邊對應成比例、兩三角形相似判定定理的應用.

例2 在探索三角形全等時，我們探索了直角三角形全等的條件，請根據當時探索獲得的經驗，試著探索直角三角形相似可行的條件.

（1）“一邊一銳角分別相等的兩個直角三角形全等，或兩直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”，類似地，你可以發現“_____，或_____”；

（2）“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”，類似地，你可以發現“_____”.

請自己畫出圖形，寫出已知，并完成說理過程.

點評：本題以探索直角三角形全等為背景，繼而深入研究，探索直角三角形相似的條件，是一道推廣研究的好題.學生解決此題的過程中，有觀察、有實驗、有歸納、有類比，題目源于教材又高于教材，正符合新課標的相應要求.

二、“三”：相似三角形的三個性質

兩個三角形相似，與角有關的數量關系都相等、與邊有關的結論都等于相似比、與面積有關的結論都等于相似比的平方.

點評：本題旨在考查相似三角形的相關性質、相似三角形的周長比等于相似比、相似三角形的面積比等于相似比的平方.

例4方框內的內容是小紅對一個題目的解答及王老師的批改.

題目：某農戶打算建造如圖2所示的矩形蔬菜種植溫室，其中長、寬的比為2∶1，在溫室內，左側保留3m的空地，其余三側各保留1m的空地.當溫室的長、寬各為多少米時，蔬菜種植區域的面積為288m2？

解：設蔬菜種植區域的寬是x m.

可列方程：x·2x=288.

解得x1=-12（舍去），x2=12.

故長為28m，寬為14m.

答：當溫室的長是28m、寬是14m時，面積是288m2.

小紅覺得她的解答是正確的，但是老師卻畫了一條橫線，說明此處有問題.

（1）你覺得小紅的解答正確嗎？說明理由.

（2）如圖3，四邊形A′B′C′D′、ABCD均為矩形，AD∥A′D′，AB∥A′B′，且AD=2AB，設AB與A′B′、BC與B′C′、CD與C′D′、DA與D′A′之間的距離分別為a、b、c、d，當a、b、c、d滿足什么條件時，矩形A′B′C′D′矩形ABCD？說明理由.

圖2

圖3

點評：本題呈現了一個學生答題的過程，貼合學生的實際，問題也從學生中來，符合核心素養的最新要求：真實問題背景下的真研究.題目最后一問是相似的研究，要正確做出此題，需要對相似的性質與判定有很深刻的理解.同時，本題考查學生糾錯的能力，這是中考試題創新之舉，是一個很好的典范.

三、“二”：相似三角形的兩種常見應用

相似有很多實際應用，最為廣泛的應用就是影子問題，涉及平行投影和中心投影.

1.平行投影

平行投影主要指在太陽光的照射下產生的影子問題.在此類題目中，主要利用這一公式：不同物體的高與其影長成比例.

例5如圖4，某興趣小組白天在室外測量樓高，如果測量標桿BE=1.5m，AB=2m，BC=10m，且A、E、D三點共線，則建筑物CD的高是（ ）m.

A.8 B.7.5 C.9 D.9.5

點評：本題是平行投影的應用，利用不同物體的高與其影長成比例便可以求出答案.

圖4

2.中心投影

中心投影主要指在點光源（如路燈、臺燈、手電筒等）的照射下產生的影子問題.在此類題目中，主要利用兩次相似找到關系.

例6如圖5，某興趣小組在夜晚進行影子的研究，測得路燈OP=8m，小紅身高1.6m，AO=20m，小紅沿AO所在的直線行走到距A點14m的B點，在此過程中，小紅影子的長度是否發生了變化？變化了多少？

圖5

點評：本題是中心投影的應用，利用兩次三角形的相似便可得到關系：，從而求得結果.

四、“一”：相似三角形的一種多解

在相似三角形部分，會有一種多解情形，這與全等三角形類似，即當兩個三角形對應的邊不確定時，便會產生多解.

例7如圖6，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=4.E、F、G三點同時從A、B、C出發，沿矩形的邊按逆時針方向運動，E、G兩點每秒運動1個單位，F點每秒運動2個單位，當點F追上點G時，三個點同時停止移動.若點F在矩形的邊BC上運動，當運動多久時，以點B、E、F為頂點的三角形與以C、F、G為頂點的三角形相似？寫出過程，說明理由.

圖6

點評：本題是動點狀態下的相似三角形問題.中考試題?？疾橄嗨迫切蔚姆诸惽闆r，本題因三角形對應邊無法確定，故會產生兩類相似，要進行分類討論.

今年，初中數學新課程標準的修訂已經拉開帷幕，旨在與學科核心素養、學科核心能力融合，同時不斷加大減負的力度.故優化課堂結構刻不容緩，打造初中數學高效課堂，也已經成為全國各地共同探討的首要問題.數學課堂應該有更多新的方法和手段，數字記憶教學就是一種很好的嘗試，通過幾個數字快速記住一章的相關知識，事半功倍，真正讓課堂高效起來.然則實踐還剛起步，背后有值得思考、改進、探索的諸多地方，更需用智慧不斷完善.